부분분수 만드는 법

부분분수

 

먼저 부분분수 분해법이란 다항함수로 이루어진 분수함수를 계산을 용이하게 만들기 위해 분모나 분자의 차수를 낮추는 계산 방식입니다.

 

보통 무한급수나 적분을 하기 어려운 유리함수 등 다양한 것들을 계산할 때 자주 사용됩니다.

 

이처럼 유리함수를 계산이 용이한 유리함수로 만들어주기 위해 크게 2가지 방법을 이용합니다.

 

1) \(\frac{p(x)}{q(x)}\)에서 분자의 차수가 크거나 같으면, \(f(x)+\frac{r(x)}{q(x)}\)꼴로 만들어준다. (여기서 \(r(x)\)는 \(q(x)\)보다 차수가 작다.) 2) 만약 그래도 유리함수가 계산하기 어렵다면, 분모를 최대한 인수분해한뒤 다른 부분분수 분해법을 사용한다.

 

1) 분자의 차수가 분모보다 크거나 같을 때

 

먼저 분자의 차수가 분모보다 크거나 같을 때 분수 꼴을 바꾸는 방법입니다.

 

방법은 간단한데요. 분자를 분모로 나눠주면 됩니다. 예시를 통해 알아보겠습니다.

 

이런 것을 다항함수의 나눗셈이라고 하는데요.

 

나누고 싶은 함수의 각 항을 차수 자리에 맞추어 적어 넣은 뒤 위와 같이 나누는 수보다 나머지가 작아질 때까지 나눠준 뒤, 등호 옆에 위처럼 똑같이 적어주면 됩니다.

 

 

2) 분자의 차수가 분모의 차수보다 작을 때

 

만약 1번 방법을 사용했는데도 계산이 안된다면 다른 방법을 사용해 볼 수 있습니다.

 

바로 여기서 나오는 게 대부분의 사람들이 말하는 부분분수 분해법입니다.

 

먼저 부분분수 분해법을 사용하기 위해서는 분모를 나눠지지 않을 때까지 인수분해를 해준 뒤 밑에 나와있는 부분분수 분해법을 이용해 부분분수로 나눠주면 됩니다.

 

이때 사용되는 부분분수 분해법은 크게 4가지로 나눠집니다. (여기서 q(x)는 분모입니다.)

 

1) 분모가 서로 다른 일차식의 곱일 때 \(q(x)=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)...(a_nx+b_n)\)인 경우 \(\frac{r(x)}{q(x)}=\frac{A_1}{a_1x+b_1}+\frac{A_2}{a_2x+b_2}+...+\frac{A_n}{a_nx+b_n}\)

2) 분모가 똑같은 일차식의 곱일 때 \(q(x)=(a_1x+b_1)^n\)인 경우 \(\frac{r(x)}{q(x)}=\frac{A_1}{a_1x+b_1}+\frac{A_2}{(a_1x+b_1)^2}+...+\frac{A_n}{(a_1x+b_1)^n}\)

3) 분모가 서로 다른 이차식의 곱일 때 \(q(x)=(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)...(a_nx^2+b_nx+c_n)\)인 경우 \(\frac{r(x)}{q(x)}=\frac{A_1x+B_1}{a_1x^2+b_1x+c_1}+...+\frac{A_nx+B_n}{a_nx^2+b_nx+c_n}\)

4) 분모가 똑같은 이차식의 곱일 때 \(q(x)=(a_1x^2+b_1x+c_1)^n\)인 경우 \(\frac{r(x)}{q(x)}=\frac{A_1x+B_1}{a_1x^2+b_1x+c_1}+...+\frac{A_nx+B_n}{(a_1x^2+b_1x+c_1)^n}\)

 

인수분해 후 위와 같은 모양으로 나눠주었다면, 다시 통분을 해서 미지수를 하나씩 찾으면 됩니다.

 

이렇게만 이야기하면 어려우니 예제를 통해 같이 알아보도록 하겠습니다.

 

 

예제)

 

1) \(\int \frac{4x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx\)를 계산해라

 

먼저 식을 봤을 때, 분자의 차수가 분모의 차수보다 큰 것을 확인할 수 있습니다.

 

\(\therefore \int \frac{4x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx=\int 4x+24+\frac{100x^2-240x+144}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx\)

 

그럼 분모를 보면 서로 다른 일차식의 곱인 것을 알 수 있습니다.

 

\(\int 4x+24dx+\int\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}dx\)

 

여기서 오른쪽 식을 통분을 하면 다음과 같이 되는 것을 알 수 있습니다.

 

\(\frac{100x^2-240x+144}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{(A+B+C)x^2+(-5A-4B-3C)x+(6A+3B+2C)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)

 

그럼 연립방정식에 의해

 

\(A+B+C=100\)

\(-5A-4B-3C=-240\)

\(6A+3B+2C=144\)

 

\(\therefore A=66, B=-62, C=98\)

 

\(\therefore \int \frac{4x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx=\int\frac{66}{x-1}+\frac{-62}{x-2}+\frac{98}{x-3}dx\)

 

여기까지가 부분분수로 바꿔주는 방법이고 계산하면 치환적분법과 로그미분법에 의해 다음이 나오게 됩니다.

(치환적분법과 로그미분법이 궁금하다면 아래의 포스팅을 눌러보세요.)

 

\(=66ln\mid x-1\mid-62ln\mid x-2\mid+98ln\mid x-3\mid\)

 

치환적분, 부분적분 개념 및 요약

지수함수와 로그함수의 도함수(+자연상수)

 

 

2) \(\frac{2x+3}{(x^2+1)^2(x+2)}\)를 부분분수로 만들어라

 

혹시라도 그럼 일차식과 이차식이 서로 곱해진 경우는 어떻게 해야 하는지 궁금하실 분들도 있을 것 같아 어떻게 계산하는지만 알아보면 다음과 같이 부분분수로 나눠준 뒤 통분 후 미지수를 찾으시면 됩니다.

 

\(\frac{2x+3}{(x^2+1)^2(x+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}+\frac{E}{x+2}\)

 

이처럼 일차식과 이차식이 섞여있는 경우에는 그냥 각각 규칙에 맞게 공식을 집어넣어 문제를 풀면 됩니다.

 

또한 나머지들도 똑같이 인수분해 후 알맞게 부분분수로 만든 뒤, 통분 후 미지수를 찾으면 되겠습니다.

 

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여기까지가 일반적인 부분분수 분해법이고 부분분수로 만드는 방법에는 사실 여러 가지 분해법이 있습니다.

 

그중에서 부분분수로 만드는 대표적인 방법 한 가지를 알려드리도록 하겠습니다.

 

부분분수 1) \(\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\) 2) \(\frac{1}{ABC}=\frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{AB}-\frac{1}{BC}\right)\)

 

이처럼 부분분수를 곱셈꼴로 나타내 분수를 간단하게 만들기도 합니다.

 

증명

 

1) \(\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)=\frac{1}{B-A}\left(\frac{B-A}{AB}\right)\)

 

2) \(\frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{AB}-\frac{1}{BC}\right)=\frac{1}{C-A}\left(\frac{C-A}{ABC}\right)\)

 

예제를 보면 이런 식을 어떻게 다루면 좋은지 감이 좀 더 쉽게 잡히실 겁니다.

 

예제)

 

\(\sum^n_{k=1}\frac{1}{k(k+1)}\)를 계산하여라.

 

먼저 위의 식을 부분분수로 계산하면 다음과 같은 식이 나오는 것을 알 수 있습니다.

 

\(\sum^n_{k=1}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k}\)

 

=\(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+...+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

 

\(=1-\frac{1}{n+1}\)

 

이처럼 이 식은 부분분수로 만들 때, 부분분수의 앞부분이 1이 되든지, 목적에 맞게 식이 간단해지게 만들 수 있는 경우에 자주 사용됩니다.

 

위에서 소개한 방법보다 부분분수로 만들어주기 간단하기 때문에 자주 사용되는 방법 중 하나입니다.

 

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오늘은 이렇게 부분분수를 만드는 방법에 대해 알아보았습니다.

 

위에서 보면서 왜 똑같은 차수의 식이 곱해질 때 2,4번처럼 나오는지 궁금하실 분들도 계실 텐데요. 사실 크게 어려운 건 아닙니다.

 

이에 대해서는 다음 포스팅에서 다뤄보도록 하겠습니다.

 

그럼 오늘 포스팅은 여기서 마치도록 하고 다음에 다시 찾아뵙겠습니다.

 

열공하세요~