삼각치환법 개념

삼각치환법

 

삼각치환법이란 치환할 때 삼각함수로 치환해 적분을 푸는 방식을 말합니다.

 

예를 들면 함수 \(f(x)\)가 있을 때, \(x=asint\)와 같이 삼각함수를 이용해 치환을 해줍니다.

 

기본적인 삼각치환법의 개념은 이렇고, 보통 삼각치환법을 자주 사용하는 세 가지의 꼴이 있습니다.

 

함수 꼴	자주 사용하는 치환 형태
\(\sqrt{a^2-x^2}\)	\(x=asint\)  \(\mid t\mid\leq \frac{\pi}{2}\)
\(\sqrt{x^2-a^2}\)	\(x=asect\)  \(0\leq t <\frac{\pi}{2}\), \(\pi \leq t<\frac{3}{2}\pi\)
\(\sqrt{a^2+x^2}\)	\(x=atant\)  \(\mid t \mid < \frac{\pi}{2}\)

 

만약 적분을 계산할 때 위와 같은 함수 꼴의 형태가 나온다면 오른쪽에 나와있는 것처럼 삼각치환을 해서 적분을 계산하시면 됩니다.

 

그리고 치환을 이용해 적분을 계산한 것이라 치환적분법에서 했던 것처럼 마지막에 다시 x에 대한 함수로 만들어주어야 하는데, 바로 x에 대한 함수로 바꾸어 주지 못하는 경우들이 있습니다.

 

이때 삼각비를 이용해 x에 대한 함수로 바꾸면 좀 더 쉽게 바꿀 수 있습니다.

 

예제를 통해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

예제)

 

1) \(\int \sqrt{9-x^2}dx\)

 

위의 표에서 첫 번째 꼴에 해당하는 함수입니다. 한 번 치환해 보도록 합시다.

 

\(x=3sint, dx=3cost dt\),  \(\mid t\mid\leq \frac{\pi}{2} \therefore 0\leq cost \)

 

\(\int \sqrt{9-x^2}dx=\int \mid 3cost\mid 3cost dt\)

 

\(=9\int cos^2 tdt=9\int \frac{1+cos2t}{2}dt\)

 

\(\frac{9}{2}\left(t+\frac{sint2t}{2}\right)\)

 

그럼 이제 여기서 x에 대한 함수로 변경을 해줘야 하는데요.

 

처음 보는 경우에는 어떻게 해야 할지 잘 감이 잡히지 않을 겁니다.

 

하지만 이때 삼각비를 이용한 방법으로 다시 치환해 주면 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

먼저 \(x=3sint\)라는 값을 활용하면, 위와 같은 그림을 그릴 수 있게 되는데요.

 

이로 인해 우리는 \(sint=\frac{x}{3}\), \(cost=\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}\) 이라는 사실을 알 수 있습니다.

 

그럼 우리가 구한 식을 다시 볼까요?

 

\(\frac{9}{2}\left(t+\frac{sint2t}{2}\right)\)

 

이 식을 보면 \(sin2t\)는 \(2sint\cdot cost\)로 만들어 줄 수 있습니다.

 

그럼 여기에 위에서 구한 사인 코사인을 대입해 주면 x에 대한 식으로 바꿔줄 수 있게 됩니다.

 

\(\frac{9}{2}(t+sintcost)=\frac{9}{2}sin^{-1}\frac{x}{3}+\frac{x\sqrt{9-x^2}}{2}\)

 

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이렇게 오늘은 삼각치환법이라는 적분 방법에 대해 알아보았는데요.

 

삼각치환법이라는 적분 방법 또한 응용 학문을 공부하다 보면 은근히 자주 사용되는 적분 방법 중 하나입니다. 기억이 안 날 때마다 들어와서 보시면서 잘 익혀두시길 바라겠습니다.

 

그럼 오늘 포스팅은 여기서 마무리하도록 하고 다음 포스팅에서 다시 찾아뵙도록 하겠습니다.

 

열공하세요~