기타 적분법(삼각함수, 무리함수)

오늘은 지금까지 배웠던 적분법들 이외의 적분법들에 대해 배워보도록 하겠습니다.

 

 

목차

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특정 삼각함수 적분법

 

\(\int sin^mxcos^nxdx\)인 경우

 

(1) m=2k+1일 때

(2) n=2k+1일 때

(3) m, n=2k일 때

 

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(1) \(sin^{2k+1}xcos^nx=(sin^2x)^kcos^nxsinx=(1-cos^2x)^kcos^nxsinx\)

 

\(t=cosx\)로 치환, \(dt=-sinxdx\)

 

\(\therefore \int (1-cos^2x)^kcos^nxsinxdx=-\int(1-t^2)^kt^ndt\)

 

로 적분이 가능합니다.

 

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(2) \(sin^mxcos^{2k+1}x=sin^mx(cos^2x)^kcosx=(1-sin^2x)^ksin^mxcosx\)

 

\(t=sinx\)로 치환, \(dt=cosxdx\)

 

\(\therefore \int (1-sin^2x)^ksin^mxcosxdx=\int(1-t^2)^kt^mdt\)

 

로 적분이 가능합니다.

 

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(3) m, n이 모두 짝수인 경우에는 아래와 같은 식들을 사용해 계산할 수 있습니다.

 

\(sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\), \(cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\)

 

이 식들을 이용하면 각 항이 cos으로 나누어진 식이 나오게 됩니다.

 

여기서 다시 (2)와 (3)의 방법을 사용하면 각 항에 대해 모두 적분할 수 있습니다.

 

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\(\int tan^mxsec^nxdx\)인 경우

 

(1) n=2k일 때

(2) m=2k일 때

(3) m=2k+1일 때

 

 

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(1) \(tan^mxsec^{2k+1}x=tan^mx(sec^2x)^{k-1}sec^2x=tan^mx(1+tan^2x)^{k-1}sec^2x\)

 

\(t=tanx\)로 치환, \(dt=sec^2xdx\)

 

\(\therefore \int tan^mx(1+tan^2x)^{k-1}sec^2xdx=\int (1+t^2)^{k-1}t^mdt\)

 

로 적분이 가능합니다.

 

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(2) \(tan^{2k}xsec^nx=(tan^2x)^ksec^nx=(sec^2x-1)^ksec^nx\)

 

이므로 각 항에 대해 점화식을 사용하면 적분을 할 수 있습니다.

(여기서 점화식이란 부분분수로 인해 반복되는 식을 말합니다.)

 

점화식 : \(\int sec^nxdx=I_n=\frac{1}{n-1}sec^{n-2}xtanx+\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}\)

 

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(3) \(tan^{2k+1}xsec^nx=(tan^2x)^ksec^{n-1}xsecxtanx=(sec^2x-1)^ksec^{n-1}xsecxtanx\)

 

\(t=secx\)로 치환, \(dt=secxtanxdx\)

 

\(\therefore \int (sec^2x-1)^ksec^{n-1}xsecxtanxdx=\int (t^2-1)^kt^{n-1}dt\)

 

로 적분이 가능합니다.

 

 

\(f(x)\)가 \(sinx, cosx, tanx\)로 이루어진 함수인 경우

 

그럼에도 문제가 풀리지 않는다면 다음의 방법을 사용할 수 있습니다.

 

\(tan\frac{x}{2}=t\)로 치환하면, \(x=2tan^{-1}t\), \(dx=\frac{2}{1+t^2}dt\)가 나옵니다.

 

그런데 \(tan\frac{x}{2}=t\) 또한 dt로 바꿔주면, \(\frac{1}{2}sec^2\frac{x}{2}dx=dt\)가 되어 위에서 정의한 dx를 dt식에 대입시키면 \(sec^2\frac{x}{2}=1+t^2\)이 되고, 따라서 \(cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+t^2}\)이 나오게 됩니다.

 

그럼 이 식을 통해 \(cosx, sinx, tanx\)를 구해보겠습니다.

 

\(cosx=2cos^2\frac{x}{2}-1=\frac{2}{1+t^2}-\frac{1+t^2}{1-t^2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

 

\(sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=2tan\frac{x}{2}cos^2{x}{2}=\frac{2t}{1+t^2}\)

 

\(tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{2t}{1-t^2}\)

 

이를 이용해 \(dx=\frac{2}{1+t^2}dt\)를 대입해 치환적분을 풀면 대부분 적분이 가능해집니다.

 

 

특정 무리함수 적분법

 

\(f(x)\)가 \(\sqrt[a]{x}, \sqrt[b]{x},...\)로 이루어진 경우

(단, a,b,...는 자연수)

 

k를 a,b,...의 최소공배수로 두고 \(t=\sqrt[k]x\)로 치환하면, \(x=t^k\)이기 때문에, \(dx=kt^{k-1}dt\)로 놓으면 함수는 t에 대한 유리함수 혹은 다항함수이기 때문에 쉽게 계산이 가능합니다.

 

 

\(f(x)\)가 \(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)로 이루어진 경우

(단, \(ad-bc\neq 0\), n>0인 정수)

 

\(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)로 치환하면 \(x=\frac{dt^n-b}{a-ct^n}\)이 됩니다. 여기서 dx는 분수의 미분법을 사용해 구하면, 함수는 대부분 t에 대한 유리함수이기 때문에 부분분수나 로그함수를 이용한 적분을 이용해 쉽게 계산이 가능합니다.

 

 

\(f(x)\)가 \(\sqrt{ax^2+bx+c}\)로 이루어진 경우

 

(1) a>0일 때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt ax=t\)로 치환하면 대부분 t에 대한 유리함수 꼴이 되어 계산이 가능해집니다.

 

(2) a<0일 때, \(ax^2+bx+c=a(x-A)(x-B)\)로 나눌 수 있다면

 

\(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-A)(x-B)}=\sqrt{-a}(B-x)\sqrt{\frac{x-A}{B-x}}\)가 되어 무리함수 2번째 적분 방법으로 적분할 수 있습니다.