반응형 미분적분학27 무게 중심(질량 중심)과 모멘트 안녕하세요. 오늘은 무게 중심과 모멘트라는 것에 대해 알아보도록 하겠습니다. 먼저 무게 중심과 모멘트가 무엇인지 말해보도록 하겠습니다. 무게 중심 : 어떤 물체의 무게의 가장 중심이 되는 위치 모멘트 : 위치 x 물리량 모멘트에서 물리량에 들어가는 것들에는 질량, 힘, 쿨롱 등과 같은 것들이 있는데 오늘은 질량이 들어간 경우에 대해 알아보도록 할 겁니다. 참고로 모멘트에 대해서 배울 때 글마다 설명하는 모멘트의 의미가 달라 헷갈려하시는 분들이 많은데요. 모멘트는 물리량이 어떤 물리량인지에 따라 모멘트의 의미는 달라지기 때문에 각 글마다 모멘트의 의미가 다를 수 있습니다. 하지만 결국 위의 모양처럼 위치x물리량의 형태의 수식이 있다면 이것은 모멘트라고 부르게 되는 것입니다. 또한 참고로 모멘트는 결국 회전.. 2023. 1. 8. 회전체의 겉넓이 구하기 오늘은 회전체의 겉넓이를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하려고 합니다. 이 회전체의 겉넓이를 구하는 방법은 저번 시간에 배운 곡선의 길이 구하는 방법에서 조금 더 연장된 방법이라고 생각하시면 될 것 같습니다. 이번 시간에 꼭 필요한 내용은 아니지만 궁금하시다면 맨 아래에 이전 포스팅을 올려두었으니 참고하시면 되겠습니다. 우선 먼저 회전체의 겉넓이 공식부터 보고 갑시다. 회전체의 겉넓이 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능하며 y'이 (a,b)에서 연속이면 구간 [a,b]에서 y=f(x)를 x축 주위로 회전시킨 입체의 겉넓이는 다음과 같다. \[A=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\] 증명을 시작해보도록 하겠습니다. 먼저 지난 시간에서 .. 2023. 1. 5. 곡선의 길이 구하기 안녕하세요. 이번 시간에는 적분을 이용해 곡선의 길이를 구해보도록 하겠습니다. 먼저 곡선의 길이는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 곡선의 길이 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능이며, f'(x)가 연속이면 곡선의 길이는 다음과 같다. \[L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\] 한 번 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 아이디어는 이렇습니다. 아래의 그림과 같이 곡선 위에 어떤 점들이 있으면 그중 서로 가장 가까운 점들끼리 선을 이어 무수히 많은 직선들의 합을 구해 곡선의 근삿값을 찾는 것입니다. 먼저 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 정의될 때, 폐구간 [a,b]에 임의의 분할 P가 있다고 해봅시다. 여기서 분할이란 말 그대로 폐구간 [a,b]를 여러.. 2023. 1. 3. 롤의 정리와 평균값 정리 안녕하세요. 오늘은 롤의 정리와 평균값 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다. 롤의 정리 먼저 롤의 정리는 만약 어떤 구간 내에서 미분 가능하고 연속인 함수 f가 있고 구간의 양 끝점에서 함숫값이 같다면 접선의 기울기가 0이 되게 하는 접점이 존재한다는 내용입니다. 정리하면 다음과 같습니다. 롤의 정리 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고, 개구간 (a,b)에서 미분가능하면 f(a)=f(b)이면 f'(c)=0인 c가 (a,b) 사이에 적어도 하나 이상 존재한다. 그럼 증명해보도록 합시다. 1) f(x)가 상수함수인 경우 : f'(x)는 항상 0이므로 (a,b) 내에 f'(x)=0 이 되게 하는 점이 존재합니다. 2) f(x)>f(a)인 경우 : f(x)는 폐구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)=f(b) .. 2023. 1. 1. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음 반응형
