쌍곡선 함수와 역쌍곡선 함수

안녕하세요. 오늘은 쌍곡선 함수와 역쌍곡선 함수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

목차

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쌍곡선함수

 

쌍곡선 함수 1) \(sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) 2) \(coshx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) 3) \(tanhx=\frac{sinhx}{coshx}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) 4) \(cschx=\frac{1}{sinhx}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}\) 5) \(sechx=\frac{1}{coshx}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}\) 6) \(cothx=\frac{coshx}{sinhx}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)

 

먼저 쌍곡선 함수란 위의 꼴로 생긴 함수들을 쌍곡선 함수라 말합니다.

 

위의 식들을 보면 일단 \(sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)라는 건 알겠는데, 왜 굳이 많은 이름 중에 사인과 이름이 비슷한 sinhx 인 것일까 하는 생각이 드실 수 있습니다.

 

또한 함수들을 그래프로 그려본 분들이라면 별로 쌍곡선처럼 생기진 않은 것 같은데, 왜 이름이 쌍곡선 함수인지 궁금하신 분들도 계실 것 같은데요. 하나씩 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저 위의 두 가지 질문 중 2번째 질문은 나중에 설명하도록 하고 먼저 첫 번째 질문에 대한 답부터 알아보도록 하겠습니다.

 

이에 대해서는 간단하게만 알고 넘어가자면 나중에 수학을 공부하다 보면 '오일러 공식'이라는 식에 대해 배우게 될 텐데요. 아래의 두 수식과 같은 식을 보게 될 겁니다.

 

\(e^{ix}=cosx+isinx\)

\(e^{-ix}=cosx-isinx\)

 

위의 두 식은 우리가 배웠던 맥클로린 급수를 이용해, \(e^{\pm ix}, cosx, sinx\)를 모두 급수의 형태로 만들어주고 서로 잘 조합하면 나오게 되는 식입니다.

 

만약 맥클로린 급수를 잘 모르겠다면 아래의 포스팅을 참조하시면 되겠습니다.

 

테일러 급수의 간결한 이해와 활용

 

어찌 됐든 위의 두 식을 sinx와 cosx에 대해 연립방정식을 이용해 정리하면 다음의 형태처럼 나오게 됩니다.

 

\(cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\)

\(sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)

 

어라? 위에 정리되어 있는 쌍곡선함수와 비슷한 꼴이지 않나요?

 

맞습니다. 여기서 허수만 제거하면 쌍곡선함수가 되게 됩니다.

 

이런 이유로 쌍곡선을 의미하는 hyperbolic의 h가 sin뒤에 붙어 sinh와 같이 쓰는 것입니다.

 

기호를 읽을 때는 주로 '사인하이퍼볼릭'이라고 읽습니다.

 

쌍곡선함수의 성질

 

그런데 여기서 쌍곡선함수는 삼각함수와 유사한 관계식을 갖는데요. 어떠한 것들이 있는지 같이 알아보도록 합시다.

 

우선 아래의 정리된 내용은 쌍곡선함수의 성질들인데요. 참고로 아래의 내용들은 그 값에서만 만족한다는 것이지 실제로 덧셈정리가 만족하지는 않습니다.

 

쌍곡선함수의 성질 1) \(sinh2x=2sinhxcoshx\) 2) \(cosh2x=cosh^2x+sinh^2x\) 3) \(sinh^2x=\frac{cosh2x-1}{2}\) 4) \(cosh^2x=\frac{cosh2x+1}{2}\) 5) \(tanh^2x=1-sech^2x\) 6) \(coth^2x=1+csch^2x\) 7) \(cosh^2x-sinh^2x=1\)

 

증명

 

1) \(\frac{e^{2x}-e{-2x}}{2}=\frac{(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})}{2}\)

\(\Rightarrow sinh2x=2sinhxcoshx\)

 

1), 7)을 제외하고 나머지는 증명이 모두 간단하기 때문에 나머지는 증명 방법만 알고 넘어가도록 하겠습니다.

 

2) 양 변에 그대로 위의 쌍곡선함수 식을 대입하면 단순 식계산을 통해 증명해 낼 수 있습니다.

 

3), 4)는 2)에 7)의 좌, 우변을 정리해 대입하고 다시 각 식에 맞게 정리하면 바로 증명할 수 있습니다.

 

5), 6)은 7)을 각각 \(cosh^2x, sinh^2x\)로 나눠주면 증명이 끝나게 됩니다.

 

사실 7)도 증명은 간단한데요. 그냥 양 변에 위의 쌍곡선함수 식을 대입하기만 하면 되지만 7)은 약간 중요한 내용을 포함하기 때문에 같이 증명해 보도록 하겠습니다.

 

7) \(cosh^2x-sinh^2x=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2\)

\(=\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{4}-\frac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{4}=1\)

 

아까 위에서 쌍곡선함수가 왜 이름이 '쌍곡선' 함수인지에 대해 말씀드리지 못했었는데요. 답은 이 공식 때문입니다.

 

먼저 삼각함수를 보면 \(sin^2x+cos^2x=1\) 이라는 공식이 있는데요. 우리가 삼각함수를 공부할 때 (cosx,sinx)를 좌표상에 놓고 그래프를 그리면 원이 나오는 것을 알 수 있었습니다.

 

이러한 이유는 위의 공식 때문인데요. 삼각함수의 성질로 인해 이러한 공식이 나오게 되고 원이 그려지게 되는 것이죠.

 

 

마찬가지로 쌍곡선 함수는 만약 coshx를 X로 놓고 sinhx를 Y로 놓으면 (coshx,sinhx)를 좌표상에 그려 쌍곡선 함수가 나오는 것을 알 수 있는데요.

 

이는 쌍곡선 함수가 \(cosh^2x-sinh^2x=1\)이라는 만족하기 때문입니다.

 

그로 인해 쌍곡선함수는 위의 그래프 모양처럼 (coshx,sinhx)가 쌍곡선으로 그려지기 때문에 쌍곡선함수라고 불리게 됐습니다.

 

 

쌍곡선함수의 도함수

 

쌍곡선함수의 성질에 대해서는 여기까지 알아보도록 하고 쌍곡선함수의 도함수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

쌍곡선함수의 도함수 1) \((sinhx)'=coshx\) 2) \((coshx)'=sinhx\) 3) \((tanhx)'=sech^2x\) 4) \((cothx)'=-csch^2x\) 5) \((sechx)'=-sechxtanhx\) 6) \((cschx)'=-cschxcothx\)

 

증명

 

1) \((sinhx)'=\left(\frac{e^x-e{-x}}{2}\right)'\)

\(=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=coshx\)

 

2) \((coshx)'=\left(\frac{e^x+e{-x}}{2}\right)'\)

\(=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=sinhx\)

 

나머지는 미분공식에 1), 2)를 대입하기만 하면 쉽게 구할 수 있습니다.

 

만약 이에 대해 궁금하시다면 아래의 포스팅에서 목차 '미분계산법'을 누르면 미분 공식이 정리되어 있습니다. 궁금하신 분들은 아래의 포스팅을 참조하시면 되겠습니다.

 

미분이란?(미분계수, 미분의 응용)

 

쌍곡선함수 적분(따름 정리)

 

또한 참고로 필요하신 분들을 위해 쌍곡선 함수 적분에 대해서도 정리해 놓도록 하겠습니다.

 

쌍곡선함수의 적분 1) \(\int sinhxdx=coshx\) 2) \(\int coshxdx=sinhx\) 3) \(\int sech^2xdx=tanhx\) 4) \(\int -csch^2xdx=cothx\) 5) \(\int -sechxtanhxdx=sechx\) 6) \(\int -cschxcothxdx=cschx\)

 

역쌍곡선함수

 

먼저 역쌍곡선함수는 글자에서 보이듯이 쌍곡선함수의 역함수를 말합니다.

 

이 함수 또한 sinhx를 제외하고는 삼각함수에서 했던 것처럼 정의역과 공역의 적절히 조절해 일대일 대응함수로 만들어 역함수로 만들게 됩니다.

 

먼저 역쌍곡선함수의 공식부터 알아보도록 하겠습니다. 역쌍곡선함수의 공식은 다음과 같습니다.

 

역쌍곡선함수 1) \(sinh^{-1}x=ln(x+\sqrt{x^2+1})\) 정의역,공역 \((-\infty,\infty)\rightarrow(-\infty,\infty)\) 2) \(cosh^{-1}x=ln(x+\sqrt{x^2-1})\) \([1,\infty)\rightarrow[0,\infty)\) 3) \(tanh^{-1}x=\frac{1}{2}ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) \((-1,1)\rightarrow(-\infty,\infty)\) 4) \(coth^{-1}x=\frac{1}{2}ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=tanh^{-1}\frac{1}{x}\) \((-\infty,-1),(1,\infty)\rightarrow(-\infty,0),(0,\infty)\) 5) \(sech^{-1}x=ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)=cosh^{-1}\frac{1}{x}\) \((0,1]\rightarrow[0,\infty)\) 6) \(csch^{-1}x=ln\left(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\mid x\mid}\right)\) \((-\infty,0),(0,\infty)\rightarrow(-\infty,0),(0,\infty)\)

 

역쌍곡선함수를 만드는 방법은 그냥 역함수를 만드는 방법을 그대로 이용하면 됩니다. 혹시라도 역함수 만드는 방법이 기억이 안 난다면 아래의 포스팅을 참고하시면 되겠습니다.

 

역함수를 만드는 방법은 포스팅 거의 맨 아랫부분에 정리해 놓았습니다.

 

함수-함수의 결합, 역함수(+전,단사함수)

 

한번 1)만 따로 증명해 보도록 하겠습니다.

 

\(y=sinhx \rightarrow x=sinhy=\frac{e^y-e^{-y}}{2}\)

\(\Rightarrow (e^y)^2-2xe^y-1=0\)

 

근의 공식을 이용하면 \(e^y\)는 양수가 돼야 하기 때문에 다음과 같습니다.

 

\(e^y=x+\sqrt{x^2+1}\)

\(\Rightarrow y=ln(x+\sqrt{x^2+1})=sinh^{-1}x\)

 

이처럼 다른 것들도 정의역과 공역을 잘 설정하면 위와 같이 나오게 됩니다.

 

 

역쌍곡선함수의 도함수

 

역쌍곡선함수의 도함수 1) \((sinh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\) 2) \((cosh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\) 3) \((tanh^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^2}\) 4) \((coth^{-1}x)'=-\frac{1}{x^2-1}\) 5) \((sech^{-1}x)'=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\) 6) \((csch^{-1}x)'=-\frac{1}{\mid x\mid\sqrt{1+x^2}}\)

 

이것들은 모두 로그의 미분을 이용하면 증명 가능하기 때문에 넘어가도록 하겠습니다.

 

 

역쌍곡선함수의 적분(따름 정리)

 

이것 또한 필요하신 분들을 위해 적분에 대해서도 정리하도록 하겠습니다.

 

역쌍곡선함수의 적분 1) \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=sinh^{-1}x\) 2) \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=cosh^{-1}x\) 3) \(\int \frac{1}{1-x^2}dx=\begin{cases}tanh^{-1}x, & \mid x\mid<1 \\coth^{-1}x, & \mid x\mid > 1\end{cases}\) 4) \(\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}dx=-sech^{-1}\mid x\mid\) 5) \(\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}dx=-csch^{-1}\mid x\mid\)

 

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이렇게 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수에 대해 알아보았는데요. 도움이 되셨길 바라겠습니다.

 

오늘 포스팅은 정말 간단하게 요약만 해봤는데요. 사실 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수를 공부할 정도라면 증명은 하는 방법만 알아도 쉽게 할 수 있을 거라고 생각해서 요약 정도로만 포스팅해 봤습니다. 혹시라도 모르겠거나 어려운 부분 있으시면 댓글 남겨주시면 최대한 빠르게 답변해 드리도록 하겠습니다.

 

또한 오늘 배운 쌍곡선함수는 미적분학에서는 잘 사용이 안되기도 해서 별로 안 와닿을 수도 있는데요. 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수는 응용학문들에서는 꽤나 많이 사용되기 때문에 잘 알아두시면 좋을 것 같습니다.

 

그럼 오늘 포스팅은 여기서 마치도록 하고 다음 포스팅에서 다시 찾아뵙도록 하겠습니다.

 

열공하세요~