치환적분, 부분적분 개념 및 요약

안녕하세요. 오늘은 적분법 중에서도 가장 많이 사용되는 치환적분법과 부분적분법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

목차

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치환적분법

 

 

치환적분법 \(F'(t)=f(t)\)이고, \(t=k(x)\)가 미분 가능하면 \(\int f(k(x))k'(x)dx=F(k(x))\) 이다.

 

우리는 예전에 소개한 미분 공식들 중에서 합성함수의 미분법이라는 것을 같이 배웠는데요. (혹시라도 잘 모르시는 분들은 아래의 포스팅을 통해 확인하실 수 있습니다.)

 

미분이란?(미분계수, 미분의 응용)

 

합성함수 미분법에 대응되는 적분법이 바로 치환적분법입니다. 증명을 보면 좀 더 쉽게 이해가 가실 겁니다.

 

 

증명

 

증명은 쉽습니다. 이전 시간에 배운 합성함수 미분법을 이용하면 쉽게 증명이 가능합니다.

 

\(\frac{d}{dx}F(k(x))=f(k(x))\cdot k'(x)\)

 

여기서 양변을 적분하면 증명이 끝나게 됩니다.

 

\(\int f(k(x))\cdot k'(x)dx=F(k(x))\)

 

 

그럼 실제 적용되었을 때는 어떻게 사용할 수 있는지 같이 보도록 하겠습니다.

 

먼저 치환적분법의 사용 방법은 다음과 같습니다.

 

1) 만약 함수가 \(\int f(k(x))k'(x)dx\) 꼴로 생겼다면 \(k(x)\)를 t로 치환합니다.(즉, \(k(x)=t\))

 

2) \(k'(x)=\frac{dt}{dx}\)이기 때문에 \(k'(x)dx=dt\)로 변환이 가능하고 이것을 대입시켜 \(\int f(t)dt\)의 식으로 만들어줍니다.

 

3) \(\int f(t)dt=F(t)\)를 구한 뒤 t=k(x)를 \(F(t)\)에 대입시켜 \(F(k(x))\)를 구합니다.

 

한번 예제를 통해 적용시켜 보겠습니다.

 

 

예제)

 

1) \(\int (x+5)^7dx\)를 구하여라.

 

t=x+5, t'=1

 

\(\therefore \int t^7dt=\frac{1}{8}t^8=\frac{1}{8}(x+5)^8\)

 

 

2) \(\int (2x+5)^7dx\)를 구하여라.

 

\(t=2x+5, t'=2\)

 

\(\therefore \int t^7\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 2dx\right)\)

\(=\int \frac{t^7}{2}t'dx=\int \frac{t^7}{2}dt\)

\(=\frac{1}{16}t^8=\frac{1}{16}(2x+5)^8\)

 

 

정적분의 치환적분법

 

 

정적분의 치환적분법 \(F'(t)=f(t)\)이고, \(t=k(x)\)가 미분 가능하면 \[\int_{a}^{b} f(k(x))k'(x)dx=\int_{k(a)}^{k(b)} f(t)dt\] \(=F(f(b))-F(f(a))\) 이다.

 

우리는 예전에 미적분의 기본정리를 통해 어떤 함수의 정적분은 그 함수의 부정적분에 구역 양 끝값을 대입해 뺀 것과 같다는 것을 배운 적이 있습니다.

 

이것을 치환적분법을 사용할 때에도 똑같이 적용해주어야 합니다.

 

먼저 \(\int_{a}^{b} f(k(x))k'(x)dx\)에서 a와 b는 어떤 변수일 때 양 끝값일까요. 맞습니다. dx가 붙었으므로 변수가 x일 때 구하고자 하는 영역의 양 끝값입니다.

 

그렇기 때문에 t에 대한 정적분을 구하고자 할 때는 양 끝값을 t에 대한 값으로 바꿔주어야 합니다.

 

우리는 t=k(x)라는 사실을 알기 때문에 치환했을 때도 같은 값이 나오려면 함수 f(t)의 양 끝 구간을 k(a), k(b)로 설정해 주면 됩니다.

 

\(\int_{k(a)}^{k(b)} f(t)dt\)

 

이렇게 말이죠.

 

예제를 통해서 적용해 봅시다.

 

 

예제)

 

\(\int_{0}^{4} (2x+1)^4dx\)를 구하여라

 

\(t=2x+1, t'=2\)   \((x=0,4\rightarrow t=1,9)\)

 

\[\int_{0}^{4} (2x+1)^4dx = \int_{1}^{9} \frac{t^4}{2}dt\]

\(\left[\frac{t^5}{10}\right]^9_1=\frac{9^5-1}{10}\)

 

 

부분적분법

 

 

부분적분법 함수 f(x),g(x)가 미분가능하면, \(\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\) 이다.

 

부분적분법은 치환적분법과 같이 자주 사용되는 적분법 중 하나인데요.

 

치환적분법은 합성함수를 이용한 미분법이었다면, 부분적분법은 곱의 미분법을 이용한 미분법입니다.

 

이것도 증명을 통해 이해해 봅시다.

 

증명

 

\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

 

여기서 양변을 적분합니다.

 

\(\int(f(x)g(x))'dx=\int \left(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\right)dx\)

 

\(=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx\)

 

\(\Rightarrow \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\)

 

 

여기서 보통 부분적분법을 이용할 때 g' 자리에 적분이 잘되는 함수를 선택해서 문제를 푸는 경우가 많습니다.

 

물론 모든 문제에 대해서 그렇게 해도 되는 건 아니지만 이렇게 할 때 문제가 잘 풀리는 경우가 많더라 정도로 알고 계시면 될 것 같습니다.

 

보통 우리가 사용하는 함수 중 지수함수, 삼각함수, 다항함수, 로그함수와 같은 것들이 있는데요. 물론 더 많은 함수들이 있지만 부분적분법을 이용할 때는 주로 4가지에 대해 계산을 하는 경우가 많습니다.

 

이때, 주로 위의 함수 순서대로 g' 자리에 함수를 넣습니다. f에는 반대 순서로 먼저 들어간다고 알고 계시면 되겠습니다.

 

한번 예제를 같이 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

예제)

 

\(\int x^2e^xdx\)를 계산하여라.

 

위에서 순서를 보면 지수함수가 적분하기 더 쉽기 때문에 f에 \(x^2\)을 g'에 \(e^x\)를 대입해 풀도록 해보겠습니다.

 

\(\int x^2e^xdx=x^2e^x-\int 2xe^xdx\)

 

그럼 다시 한번 더 부분적분을 이용해 맨 뒤 항을 계산하도록 하겠습니다.

 

\(\int 2xe^xdx=2xe^x-\int 2e^xdx=2xe^x-2e^x\)

 

이것을 위에 다시 대입하면 다음과 같이 나오게 됩니다.

 

\(\int x^2e^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x\)

 

 

답이 잘 나왔죠? 근데 혹시라도 f와 g'자리에 함수를 잘 넣어본 게 맞나 싶을 수도 있을 텐데요.

 

한번 함수를 반대로 넣어보면 문제가 더 복잡해지는 것을 보실 수 있을 겁니다.

 

그리고 부분적분을 처음 접한 사람이라면 좀 계산이 복잡해 보일 수도 있는데요.

 

원래 보통 부분적분을 계산할 때는 한 번에 풀리지 않는 경우가 많기 때문에 만약 바로 풀리지 않는다면 몇 번 더 계산을 해보는 것이 좋습니다.

 

 

정적분의 부분적분법

 

정적분의 부분적분법 함수 f(x),g(x)가 미분가능하면, \(\int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\) 이다.

 

사실 부분적분법은 사실 간단합니다. 증명할 때 본 것처럼 양 변을 같이 적분한 것이기 때문에 그냥 다 같이 같은 구간에서 적분해주시면 됩니다.

 

이것도 한 번 예제를 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

예제)

 

\(\int_0^1 x^2e^xdx\)을 구하여라.

 

위에서 푼 예제를 참고해 보도록 하겠습니다.

 

\(=\left[xe^x\right]^1_0-\left[2xe^x\right]^1_0+\left[2e^x\right]^1_0\)

 

\(=e-2e+2e-2=e-2\)

 

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오늘은 치환적분법과 부분적분법에 대해 같이 알아보았는데요. 이 두 가지 적분법은 공부를 하다 보면 정말 많이 사용되는 적분법이기 때문에 숙달될 때까지 많은 문제들을 풀어보는 것이 좋을 것 같습니다.

 

그럼 오늘 포스팅은 여기서 마치도록 하고 다음 포스팅에서 다시 찾아뵙도록 하겠습니다.

 

열공하세요~