지수함수와 로그함수(+로그함수의 다양한 성질)

안녕하세요. 오늘은 지수함수와 로그함수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

사실 지수함수와 로그함수는 보통 교과서나 개념서에 다 쓰여있는 내용이라 다들 아실 것 같지만 다시 한번 정리해 보도록 하겠습니다.

 

아래에 있는 목차를 누르면 해당 위치로 이동하니 따로 필요한 부분이 있다면 클릭하셔서 빠르게 보셔도 좋을 것 같습니다.

 

 

목차

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지수함수와 지수함수의 성질, 지수법칙

 

먼저 지수함수에 대해 알아보도록 하겠습니다. 지수 함수의 정의는 다음과 같습니다.

 

지수함수 함수 \(y=a^x(a>0, a\neq 1)\)를 지수함수라고 한다. 이때 a를 밑, x를 지수라고 한다.

 

다시 설명하면, 밑이라 불리는 a는 0보다 크고 1이 아니어야 하고 지수를 변수 x를 갖고 있는 위의 형태의 함수를 지수함수라고 부릅니다.

 

지수함수의 성질

 

그럼 바로 지수 함수의 성질 몇 가지를 소개하도록 하겠습니다.

 

지수함수의 성질 1) 지수함수 \(y=a^x\)에서 x=0일 때 밑이 어떤 값이든 y=1이다. (단, 밑이 0인 경우 제외) 2) 지수에 음수가 붙으면 함수를 분수꼴로 나타낼 수 있다. \((y=a^{-x}=\frac{1}{a^x})\) 3) 지수가 분수꼴인 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다. \((a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p})\)

 

지수법칙

 

지수법칙은 다음과 같습니다.

 

지수법칙 1) \(a^{p+q}=a^pa^q\) 2) \(a^{p-q}=\frac{a^p}{a^q}\) 3) \((a^p)^q=a^{pq}\) 4) \((ab)^p=a^pb^p\)

 

너무나도 간단하지만 증명해 보자면 다음과 같습니다.

 

1) 양 쪽 모두 계산을 해보겠습니다. ex) \(a^5=a^2a^3 \rightarrow a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a\cdot a\cdot(a\cdot a\cdot a)\)

 

따라서 일반적으로도 성립함을 볼 수 있으므로 증명 끝.

 

2)는 1)과 같이 증명하면 됩니다.

 

3) \((a^p)\)라는 밑을 q만큼 곱하겠다는 것입니다.

 

ex) \((a^p)^3=(a^p)\cdot (a^p)\cdot (a^p)=a^{3p}\)

 

따라서 이것도 일반적으로도 성립함을 볼 수 있어 증명 마치도록 하겠습니다.

 

4) 이건 분배법칙에 의한 것으로 소인수 분해를 통해 비교하면 같은 값이 나오게 됩니다.

 

 

로그함수와 로그함수의 성질, 로그법칙, 로그함수 사용 용도

 

이번에는 로그함수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

정의는 다음과 같습니다.

 

로그함수 지수함수 \(y=a^x(a>0, a\neq 1)\)의 역함수 \(y=log_ax\)를 로그함수라고 한다.

 

먼저 로그함수는 지수함수의 역함수 관계에 있는 함수입니다. 이걸 있는 그대로 이해하면 조금 더 편한데요.

 

한 번 지수함수를 로그함수로 만드는 과정을 따라가 봅시다.

 

먼저 \(y=a^x\)를 역함수로 만들어 봅시다.

 

그럼 \(x=a^y\)의 식이 나오게 되는데요. 이것을 y에 대해 정리하기 위해 로그함수를 이용할 수 있습니다.

 

\(y=log_ax\)와 같이 말이죠.

 

즉, 해석을 해보자면 "밑 a와 값 x가 나오게 하는 지수는 y이다."라고 해석하시면 됩니다.

 

좀 더 편한 이해를 위해 원래 함수로 표현하면 \(x=log_ay\)는 "밑 a와 함숫값 y가 나오게 하는 지수는 x이다."

 

즉, 로그는 지수를 찾기 위한 도구입니다.

 

그럼 우리는 로그함수는 지수함수의 역함수라고 했으니 잠시 몇 가지 조심해야 할 것들이 있습니다.

 

먼저 로그함수는 \(y=log_ax\)이죠. 근데 우리가 잠시 지수함수를 보면 함숫값은 항상 양수임을 알 수 있는데요.

 

따라서 로그에서 함숫값자리에 해당하는 x는 역함수 관계에 따라 항상 양수 값이 나와야 합니다.

 

그리고 혹시라도 잊을 수도 있지만 지수함수에서 말했듯 a는 지수함수에서나 로그함수에서나 1을 제외한 양수값이 되어야 하는 것을 기억하시면 되겠습니다.

 

로그함수 사용용도

 

이건 여담인데요. 교과서에서 보면 로그함수는 수를 작게 만들려고 사용한다는데, 교과서만 보면 대체 언제 사용하는 거란 말인가 하는 의문을 가지셨던 분들도 있을 것 같습니다.

 

먼저 보통 로그함수는 통계에서 사용하는 경우가 많습니다. 데이터를 좀 더 눈에 들어오기 쉽게 로그를 사용하는 경우들도 있습니다.

 

예를 들어 지수함수로 비교했을 때는 값 43,046,721과 1,853,020,188,851,841를 보면 몇 배 차이인지 눈에 보이시나요.

 

로그로 계산하면 밑이 3인 로그에 대해 앞에 것은 16이 나오고 뒤에 것은 32가 나와서 \(3^{16}\) 배만큼 차이가 나는구나 하고 쉽게 알아볼 수 있습니다.

 

물론 보통 밑을 3으로 해서 비교하기보다는 천문학적인 숫자 둘 간의 대소 비교를 할 때 자연상수 e나 10이 밑인 로그를 사용해 대충 둘 간의 크기 비교를 할 때 사용을 자주 하기도 합니다.

 

예를 들면 위의 숫자들을 ln(밑이 e인 로그, \(log_e\))으로 비교하면 약 17.58과 35.16이 나오는데 거의 \(e^{17.58}\) 배만큼 차이가 나는 것을 쉽게 볼 수 있죠.

 

여기까지는 그래도 차피 둘 다 계산기로 구해야 하는 거 아닌가 싶을 수 있는데, 이걸 그래프로 나타내서 보면 좀 더 보기 쉬운 그래프 비교를 할 수 있게 됩니다.

 

단적인 예로는 앞서 말한 통계에서 나라와 나라 간의 하위 1%~상위 1%의 소득 격차나 지금까지 관찰한 적색왜성과 백색왜성 중 크기가 작은 하위 1%~상위 1%의 지름 비교 등 다양한 것들을 눈에 보기 쉽게 나타내기 위해 로그를 사용하기도 합니다.

 

그럼 로그의 사용용도는 이 정도로 알아보고 넘어가서 로그의 성질에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

로그함수의 성질

 

사실 1,2는 어떤 로그함수만의 특정 성질이라기보다는 지수함수와 로그함수로부터 유도된 특정 식들인데요. 이 형태들을 잘 기억해 놓으면 문제 풀이나 공부할 때 도움이 많이 되니 잘 외워두시면 좋을 것 같습니다.

 

로그함수의 성질 x, a>0, \(a \neq 1\), \(r \in R\)이면 1) \(a^{log_ax}=x\) 2) \(log_aa^r=r\) 3) \(log_aa=1\) 4) \(log_a1=0\)

 

증명은 너무 간단합니다.

 

1)의 함수를 로그로 나타내면 등호가 성립됩니다.(\(log_ax\)에 대한 식으로)

2)는 로그를 지수로 바꾸면 등호가 성립됩니다. (\(a^r\)에 대한 식으로)

3) \(a^1=a\)이기 때문에 성립합니다.

4) 마찬가지로 \(a^0=1\)이기 때문에 성립합니다.

 

로그법칙

 

로그법칙 x, a>0, \(a \neq 1\), \(r \in R\)이면 1) \(log_axy=log_ax+log_ay\) 2) \(log_a\frac{x}{y}=log_ax-log_ay\) 3) \(log_ax^r=rlog_ax\) 4) \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\)

 

증명을 위해 \(A=log_ax, B=log_ay\)라고 하겠습니다. (따라서 \(x=a^A, y=a^B\))

 

1) 로그함수의 성질 2를 이용하면 \(A+B=log_aa^{A+B}=log_aa^A\cdot a^B\)이 나오게 되고, 맨 왼쪽 식과 맨 오른쪽 식에 위의 식들을 다시 대입하면 1)의 증명이 완료됩니다.

 

2) 이 또한 -를 넣으면 로그함수 성질 2를 이용해 유도가 가능합니다.

 

3) \(log_ax^r=log_a(a^A)^r=Ar=rlog_ax\)가 됩니다.

 

로그함수의 밑변환

 

로그함수의 밑변환 1) \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\) 2) \(log_ab=\frac{1}{log_ba}\) 3) \(log_ab\cdot log_cd= log_cb\cdot log_ad\) (즉, 로그의 곱셈끼리는 밑변환 가능) 4) \(log_{a^p}b^q=\frac{q}{p}log_ab\)

 

증명을 위해 \(A=log_ab\), \(b=a^A\)라고 하겠습니다.

 

1) \(log_cb=log_ca^A\) \(\rightarrow log_cb=Alog_ca\)

\(\rightarrow A=\frac{log_cb}{log_ca}=log_ab\)

 

2) \(log_bb=log_ba^A\) \(\rightarrow 1=Alog_ba\)

\(\rightarrow A=\frac{1}{log_ba}=log_ab\)

 

3) 이건 밑변환 1)을 이용해 식을 변환하면 다음과 같이 밑을 바꿀 수 있습니다.

 

\(log_ab\cdot log_cd=\frac{log_eb}{log_ea}\cdot \frac{log_ed}{log_ec}\)

\(=\frac{log_eb}{log_ec}\cdot \frac{log_ed}{log_ea}=log_cb\cdot log_ad\)

 

4) 이것도 마찬가지로 밑변환 1)을 이용해 식을 변환하면 다음과 같이 나옵니다.

\(log_{a^p}b^q=\frac{log_cx^q}{log_ca^p}=\frac{qlog_cx}{plog_ca}=\frac{q}{p}log_ab\)

 

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이렇게 오늘은 로그함수와 지수함수에 대해 같이 알아보았습니다. 오늘은 대부분 개념서 같은 책들로 공부를 하고 기억이 가물가물할 때 찾아오시는 분들이 많을 것 같아서 요약 정도로만 해봤습니다.

 

도움이 되셨나요? 그럼 오늘은 여기서 마무리하도록 하고 혹시라도 궁금한 부분이 있다면 댓글 남겨주세요.

 

다들 열공하세요~