미분이란?(미분계수, 미분의 응용)

오늘 알아볼 내용은 미분입니다. 원래는 미분부터 배웠어야 했는데, 어쩌다보니 적분부터 배우게 됐네요. ㅠ

 

그런고로 오늘은 미분에 대해서 알아볼텐데요. 미분이란 무엇인지, 미분을 어떻게 이용할 수 있는지 같이 알아보도록 하겠습니다.

 

목차

※ 목차를 누르면 해당 위치로 이동합니다.

 

미분계수

 

먼저 미분의 정의에 대해 알아보겠습니다. 미분이란 어떤 함수의 순간변화율을 나타내는 말입니다.

 

그럼 순간변화율이란 무엇을 의미할까요?

 

먼저 순간변화율을 알기 위해 변화율이라는 것에 대해 알아볼 필요가 있습니다. 여기서 말하는 변화율은 x의 위치가 변할 때, 함수 f가 얼마만큼 변화하는가를 의미하는가를 말합니다.

 

이해를 돕기 위해서는 평균변화율에 대한 내용을 알면 도움이 될텐데요. 평균변화율의 정의는 다음과 같습니다.

 

\(\frac{y_f-y_i}{x_f-x_i}\)

 

여기서 \(x_f\)는 x의 나중 위치, \(x_i\)는 x의 처음 위치를 의미합니다. 다시 말해 처음과 나중의 변화율은 총 변화율의 평균변화율과 같다는 것입니다.

 

 

그러면, 나중 위치와 처음 위치의 차이가 0에 가까워진다면, 어떻게 될까요? 이것을 어떤 점에서의 변화율 즉, 순간변화율이라고 부르게 되는 것입니다. 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

\[\lim_{x \rightarrow x_i}\frac{f(x)-f(x_i)}{x-x_i}\]

 

이때, 극한값이 존재한다면, \(y=f(x)\)는 \(x=x_I\)에서 미분이 가능하다라고 하고 이 극한값을 \(x_i\)에서 \(f\)의 미분계수/순간변화율이라고 부릅니다. 식으로는 다음과 같이 표현합니다.

 

\(f'(x_i), \frac{d}{dx}f(x_i),...등등\)

 

또한 만약 (a,b)의 모든 점에서 함수 \(y=f(x)\)가 미분 가능하면 극한의 유일성에 따라 (a,b)에서 각 점의 극한값끼리 이어진 \(y=f'(x)\)라는 함수를 만들어지는데요. 이것을 f(x)의 도함수라고 하고, \(y', f'(x), \frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}f(x)\) 등과 같이 표현합니다.

 

잠시 앞으로 배울 내용을 위해 소개할 기호들이 몇 가지 있는데요. \(\triangle x, \triangle y\) 같은 기호들이 있습니다. 각각 x와 y의 변화량을 의미합니다.

 

이것을 이용해 위에서 정의한 미분계수를 나타내면 \(\lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\)와 같이도 쓸 수 있습니다.

 

이게 어떤 점에서의 순간 변화율을 가장 함축적으로 나타내는 식입니다. 그리고 이걸 다음과 같은 형태로도 나타낼 수 있는데요. \(\triangle x = x-x_i\)라고 하면 \(x=x_i+\triangle x\)이기 때문에 보기 쉽게 \(\triangle x\)를 h로 바꾸면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있습니다.

 

\[f'(x_i)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\]

 

즉, 미분계수는 아까 위에서 본 식과 위의 식 2가지 형태로 표현이 가능하다는 것인데요.

 

굳이 이렇게 표현해주는 이유는 증명을 하거나 문제를 풀 때, 위에서 정의한 미분계수와 함께 자주 사용되는 미분계수의 정의이기 때문입니다.

 

정리하면 다음과 같습니다.

 

\[f'(x_i)=\lim_{x \rightarrow x_i}\frac{f(x)-f(x_i)}{x-x_i}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}\]

 

 

미분의 응용

 

이렇게 미분에 대해서 알아봤으면, 어떻게 사용할 수 있는지 알아봐야겠죠? 위에 나와있는 목차대로 하나씩 알아보도록 하겠습니다.

 

미분 계산법

 

먼저 미분(미분계수이든 도함수든)을 계산할때는 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 이것들은 앞으로 미분을 계산할 때 아주 기초적인 방법들이기 때문에 기억이 안나면 자주 찾아보면서 외우는 것이 좋습니다.

 

미분 계산법 (1)  \(f(x)=c\) 이면, \(f'(x)=0\) (단, c는 상수) (2)  \((f\pm g)'(x) = f'(x)\pm g'(x)\) (3)  \((cf)'(x)=cf'(x)\) (4)  \((fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) (5)  \(\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)

 

미분계수와 도함수의 정의를 이용해 증명을 하면 1,2,3은 증명이 아주 쉽기 때문에 될 수 있으면 아래의 증명을 보지 않고 한 번씩 증명해보는 것도 좋을 것 같습니다. 사실 4,5번도 난이도는 거의 수학문제 푸는 것과 비슷해서 이것도 한 번씩 증명해보면 나름 해볼만 할겁니다.

 

사실 다 개념서에 나와있는 내용이기 때문에 1번부터 가볍게 증명하도록 하겠습니다. 이 부분은 처음보는게 아니라면 넘어가도 좋습니다.

 

(1)

\[f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{c-c}{h}=0\]

 

(2)

\[(f\pm g)'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)\pm g(x+h)-\left\{f(x)\pm g(x)\right\}}{h}\]

\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\pm\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\]

\[=f'(x)\pm g'(x)\]

 

(3)

\[(cf)'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=c\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=cf'(x)\]

 

(4)

\[(fg)'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\]

\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\]

\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h)\left\{f(x+h)-f(x)\right\}}{h}+\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}}{h}\]

\[=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]

 

(5)

\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\left(\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right)\]

\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\left(\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\right)\]

\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\left(\frac{f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\right)\]

\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\left(\frac{g(x+h)\left\{f(x+h)-f(x)\right\}-f(x+h)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}}{g(x+h)g(x)}\right)\]

\[=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2}\]

 

---

다항함수의 미분법

 

사실 다항함수 미분법은 미분에서 가장 많이 쓰이는 방법이라 해도 무방한 미분법입니다.

 

다항함수의 미분법 \(f(x)=x^n\)이면 \(f'(x)=nx^{n-1}\)이다. (여기서, n은 실수이다.)

 

즉, n이 음수이든 양수이든 어떤 실수에서든 다항함수라면 위의 형태로 미분이 가능하다는 것입니다. 이건 로그함수와 음함수의 미분법을 알고 있다는게 전제가 되어야 하지만 이렇게 하지 않으면 n이 정수일 때의 증명밖에 하지 못하기 때문에 이 내용들을 알고 있다는 가정하에 증명하도록 하겠습니다.

 

증명

 

\(y=x^n\)인 함수가 있다고 합시다.

 

양변에 ln을 씌운다음 음함수의 미분법을 이용하면 다음과 같은 꼴이 나옵니다.

 

\(lny=nlnx\)

\(\frac{d}{dx}lny=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}lny=\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}nlnx=\frac{n}{x}\)

 

즉, \(\frac{y'}{y}=\frac{n}{x}\)

 

 여기서 y를 \(x^n\)으로 바꾸면 다음과 같은 식을 얻어낼 수 있습니다.

 

\(y'=nx^{n-1}\)

 

---

합성함수의 미분법

 

합성함수의 미분법은 다음과 같습니다.

 

합성함수의 미분법 \(\left\{f(g(x)\right\}'=f'(g(x))g'(x)\)

 

합성함수란 간단하게 말해서 정의역으로 함수를 갖고 있는 함수를 말합니다. 기호로 표현하면 다음과 같은데,

 

\(f(g(x))\), \(f\circ g(x)\)

 

예를 들면 다음과 같은 함수가 있습니다.

 

\(f(g(x))=(x+1)^2\), \((g(x)=x+1, f(x)=x^2)\)

 

이러한 함수들을 미분하는 방법은 간단합니다. g(x)를 어떤 변수 t로 치환한다면 다음과 같이 합성함수의 미분법을 증명할 수 있습니다.

 

\(t=g(x)\), \(\frac{d}{dx}f(t)=\frac{df(t)}{dt}\frac{dt}{dx}\)

 

여기서 t=g(x)이므로

 

\(=f'(g(x))g'(x)\)

 

즉, \(\left\{f(g(x)\right\}'=f'(g(x))g'(x)\) 입니다.

 

따라서 예시로 든 함수는 다음과 같이 나오는 것을 알 수 있습니다.

 

\(\left\{f(g(x)\right\}'=2(x+1)\)

 

---

역함수의 미분법

 

역함수의 미분법은 다음과 같습니다.

 

역함수의 미분 만약 y=f(x)가 미분 가능하고 f'(x)가 0이 아니라면 역함수도 미분 가능하다. 그리고 f(a)=b라면, \((f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}\)이다.

 

먼저 역함수란 정의역과 치역이 서로 뒤바뀐 함수를 말합니다.

 

즉, y=f(x)라면 x=f(y)로 정의역과 치역을 바꿔준 뒤, 다시 y=g(x)로 만들어주면 g(x)를 f(x)의 역함수라고 부르고 기호로는 다음과 같이 씁니다.

 

\(g(x)=f^{-1}(x)\)

 

그럼 만약 \(y=f^{-1}(x)\)의 정의역과 치역을 바꿔주면 어떻게 쓸 수 있을까요?

 

당연하게도 \(x=f^{-1}(y)\)로 쓸 수 있는데요. 이걸 y에 대해 미분한다면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

\(\frac{dx}{dy}=(f^{-1})'(y)\)

 

여기서 \(\frac{dx}{dy}\)는 y에 대한 x의 순간변화율을 의미하는데요. 이것은 바꿔말해 \(f'(x)\)의 역수와 같습니다. 왜냐하면 이것은 x에 대한 y의 순간변화율인데, 둘의 x에 대한 y는 같은 값을 가지므로 역수를 취하면 같은 값이 나오게 됩니다. 이것을 식으로 쓰면 다음과 같습니다.

 

\(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\), \((f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}\)

 

여기서 주의할 점이 있습니다. 참고로 여기서의 y는 f'(x)를 의미하는 것이 아니라 f(x)를 의미합니다.

 

예제를 통해 설명하도록 해보겠습니다.

 

ex) \(f(x)=x^2\)일때, \((f^{-1})'(3)\)을 구하라.

 

먼저 f'(x)=2x라는 것을 알 수 있습니다. 그러면 우리는 y=3을 만족하는 x를 구해야 하는데, \(x^2\)과 \(2x\)중 어떤 것이 3이 되는 x를 구해야 할까요?

 

여기서 이해가 가죠? 그러니까 우리는 \(f'(x : x^2=3)\)인 값을 찾아야 하는 것입니다.

 

그러면 \(x=\sqrt{3}\)이므로

 

\((f^{-1})'(3)\) = \(\frac{1}{2\sqrt{3}}\) 인 것을 알 수 있습니다.

 

예제로 보니 쉽게 이해가 가죠? 그럼 삼각함수의 미분법으로 넘어가도록 하겠습니다.

 

---

삼각함수의 미분법

 

먼저 예전에 삼각함수에 대해 포스팅을 한 적이 있었는데요. 이해가 잘 안가는 부분이 있다면 아래의 포스팅을 참고하시면 되겠습니다.

 

삼각함수-(삼각함수의 성질과 역함수), 둔각삼각형

 

먼저 삼각함수의 미분에 알아보기 전에 몇 가지 삼각함수를 이용한 공식을 알아야 합니다.

 

극한을 이용한 삼각함수 공식 (1) \[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta}{\theta}=1\] (2) \[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{cos\theta-1}{\theta}=0\]

 

1번부터 증명해보도록 하겠습니다. 다음 그림과 같은 단위원 하나가 있다고 해봅시다.

먼저 호의 넓이와 길이는 다음과 같습니다.

 

(r=반지름, l=호의 길이 S=호의 넓이)

\(S=\frac{1}{2}rl\)

\(l=r\theta\)

 

 

그러면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

\(\triangle AOC\leq \frac{1}{2}rl \leq \triangle BOC\)

 

여기서 원이 단위원이므로 r=1이므로 다음과 같습니다.

 

\(\frac{1}{2}sin\theta \leq \frac{1}{2}\theta \leq \frac{1}{2}tan \theta\)

 

\(1 \leq \frac{\theta}{sin\theta} \leq \frac{1}{cos\theta}\)

 

그리고 역수를 취하면 역수의 대소관계에 의해

 

\(cos\theta \leq \frac{sin\theta}{\theta} \leq 1\)

 

이 되고 모두 \(\theta\)가 0으로 가는 극한을 씌워주면 양변이 1이므로 샌드위치 정리에 의해

 

\[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta}{\theta}=1\]

 

이 됩니다.

 

이를 이용해 2번을 증명하면 간단하게 증명이 됩니다.

 

먼저 약간의 식 변형을 다음과 같이 해줍니다.

 

\[\frac{cos\theta-1}{\theta}=\frac{cos^2\theta-1}{\theta(cos\theta+1)}=\frac{sin^2\theta}{\theta(cos\theta+1)}\]

 

그리고 여기에 극한을 씌워주면 1번의 공식으로 증명이 되는 것을 볼 수 있습니다.

 

\[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin^2\theta}{\theta(cos\theta+1)}=1\cdot \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta}{cos\theta+1}=1\cdot\frac{0}{2}=0\]

 

그럼 다시 삼각함수의 미분법을 알아보도록 하겠습니다.

 

삼각함수의 미분법 (1) \((sinx)'=cosx\) (2) \((cosx)'=-sinx\) (3) \((tanx)'=sec^2x\) (4) \((cscx)'=-cscxcotx\) (5) \((secx)'=secxtanx\) (6) \((cotx)'=-csc^2x\)

 

여기서는 sin과 cos에 대한 증명만 하고 넘어가도록 하겠습니다. 나머지는 위에서 설명한 미분계산법을 이용하면 금방 증명하실 수 있습니다.

 

먼저 삼각함수를 도함수의 정의에 맞게 써보도록 하겠습니다.

 

\(\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}\)

 

그럼 삼각함수의 덧셈정리에 의해 다음과 같은 식이 나오게 됩니다. 만약 삼각함수의 덧셈정리가 기억이 잘 안난다면 위에 남겨놓은 포스팅을 참고하시기 바라겠습니다.

 

\(=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinxcosh+sinhcosx-sinx}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinx(cosh-1)+sinhcosx}{h}\)

 

여기서 앞의 항은 극한으로 인해 \(cosh \rightarrow 1\)이기 때문에 다음과 같은 식이 나오게 됩니다.

 

\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinhcosx}{h}\]

 

마지막으로 \(\lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinh}{h}=1\)이기 때문에 다음의 결과가 나오게 됩니다.

 

\((sinx)'=cosx\)

 

이 결과를 이용하면 cos함수도 빠르게 증명할 수 있습니다.

 

\(cosx=sin(x+\frac{\pi}{4})\)

 

\((cosx)'=(sin(x+\frac{\pi}{4}))'=cos(x+\frac{\pi}{4})=-sinx\)

 

---

이렇게 미분의 정의와 미분의 다양한 계산 방법들까지 알아보았는데요. 이 내용들은 아주 기초적인 내용들이기 때문에 잘 숙지하고 있어야 하는 내용입니다. 그만큼 미분에 중요한 내용인데요. 공부하다가 잘 모르겠다면 찾아보면서 잘 숙달하시기 바라겠습니다.

 

그럼 오늘 포스팅은 여기서 마무리하고 다음 시간에 다시 찾아오도록 하겠습니다.