곡선의 길이 구하기

안녕하세요. 이번 시간에는 적분을 이용해 곡선의 길이를 구해보도록 하겠습니다.

 

먼저 곡선의 길이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

곡선의 길이 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능이며, f'(x)가 연속이면 곡선의 길이는 다음과 같다. \[L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\]

 

한 번 증명해보도록 하겠습니다.

 

먼저 아이디어는 이렇습니다. 아래의 그림과 같이 곡선 위에 어떤 점들이 있으면 그중 서로 가장 가까운 점들끼리 선을 이어 무수히 많은 직선들의 합을 구해 곡선의 근삿값을 찾는 것입니다.

 

먼저 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 정의될 때, 폐구간 [a,b]에 임의의 분할 P가 있다고 해봅시다.

 

여기서 분할이란 말 그대로 폐구간 [a,b]를 여러 구간으로 쪼갠 것을 말하며 \(P=\left\{a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b\right\}\)와 같이 [a,b] 사이의 어떤 점들로 이루어진 집합을 말합니다.

 

이때 각 점에 \(y_i=f(x_i)\)를 대응시켜 \(P_0(x_0,y_0), P_1(x_1,y_1),...P_n(x_n,y_n)\)과 같은 점이 있다고 합시다.

 

그럼 \(P_{i-1}\)과 \(P_i\) 사이의 거리를 구하면 \(\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}\)이 나오게 됩니다.

 

여기서 \(\mid x_i-x_{i-1} \mid\) 중 가장 큰 크기인 분할의 크기 lPl이 0으로 가도록 분할을 세분하면 위의 식은 곡선의 길이 \(L_i\)에 근사하게 됩니다.

 

여기서 리만합을 이용하면 곡선의 길이는

 

\[L=\lim_{\mid P\mid \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}\]

 

이 되고 여기서 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하면 평균값 정리를 이용해 곡선의 길이를 구할 수 있습니다.

 

평균값 정리에 대해 잘 모르겠다면 다음 포스팅에서 찾아보실 수 있습니다.

 

롤의 정리와 평균값 정리

 

그럼 위에서 구한 식을 변형하면 다음과 같이 적을 수 있는데,

 

\[L=\lim_{\mid P\mid \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\right)^2}\cdot(x_i-x_{i-1})\]

 

여기서 평균값 정리를 이용하면 i와 i-1번째 점 사이에서 평균변화율과 동일한 점이 구간 내에 존재하므로 식이 다음과 같이 변형될 수 있습니다.

 

\[L=\lim_{\mid P\mid \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n\sqrt{1+\left[f'(x^*_i)\right]^2}\cdot(x_i-x_{i-1})\]

 

따라서 우리는 위에서 정리한 것처럼 위의 식과 동일한 식인

 

\[L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\]

 

를 얻어낼 수 있게 됩니다.

 

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이렇게 오늘은 곡선의 길이를 구하는 방법에 대해 알아보았는데요. 이해가 잘 가셨나요? 혹시라도 이해가 잘 안 가거나 어려운 부분이 있었다면 댓글을 통해 질문 남겨주시면 최대한 빨리 답변드리도록 하겠습니다.

 

그럼 오늘 포스팅도 여기서 마무리하도록 하고 다음 포스팅에서 다시 돌아오도록 하겠습니다.