회전체의 겉넓이 구하기

오늘은 회전체의 겉넓이를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하려고 합니다.

 

이 회전체의 겉넓이를 구하는 방법은 저번 시간에 배운 곡선의 길이 구하는 방법에서 조금 더 연장된 방법이라고 생각하시면 될 것 같습니다.

 

이번 시간에 꼭 필요한 내용은 아니지만 궁금하시다면 맨 아래에 이전 포스팅을 올려두었으니 참고하시면 되겠습니다.

 

우선 먼저 회전체의 겉넓이 공식부터 보고 갑시다.

 

회전체의 겉넓이 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능하며 y'이 (a,b)에서 연속이면 구간 [a,b]에서 y=f(x)를 x축 주위로 회전시킨 입체의 겉넓이는 다음과 같다. \[A=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\]

 

증명을 시작해보도록 하겠습니다.

 

먼저 지난 시간에서 했던 것처럼 폐구간 [a,b]를 임의의 분할 P로 나누고 각 점을 f(x)에 대응시켜 \(P_n(x_n,y_n)\)을 만들어주도록 합시다.

 

그럼 지난 시간과 똑같이 선분 \(\overline{P_{i-1}P_i}\)는 호의 길이의 근삿값으로 생각해볼 수 있겠죠?

 

여기서 그럼 선분 \(\overline{P_{i-1}P_i}\)를 x축 주위로 회전시켰을 때 나오는 회전체를 \(A_i\)라고 하면 아래의 그림과 같은 도형이 나오게 될 텐데요.

 

 

여기서 고리의 한 부분을 잘라 다시 조각내면 다음과 같이 나오는데 여기서 \(x_{i-1}\)와 \(x_i\)의 간격이 무한히 줄어들고 무한히 조각내면 사각형에 가까워지기 때문에 다음과 같이 \(A_i\)를 정의할 수 있습니다.

 

\[A_i=2\pi\frac{y_i+y_{i-1}}{2}L_i\]

 

여기서 \(L_i\)는 선분 \(\overline{P_{i-1}P_i}\)의 길이와 같기 때문에 다시 한번 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

\[A_i=2\pi\frac{y_i+y_{i-1}}{2}\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}\]

 

따라서 회전체의 겉넓이는 다음과 같이 나오게 됩니다.

 

\[A=\lim_{\mid P\mid \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n2\pi\frac{(y_i+y_{i-1})}{2}\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}\]

 

\[=\lim_{\mid P\mid \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n2\pi\frac{(y_i+y_{i-1})}{2}\sqrt{1+\frac{(y_i-y_{i-1})^2}{(x_i-x_{i-1})^2}}\cdot(x_i-x_{i-1})\]

 

여기서 저번에 했던 것처럼 평균값 정리를 이용하면

 

\[\lim_{\mid P\mid \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n2\pi\frac{(y_i+y_{i-1})}{2}\sqrt{1+[f'(x^*_i)]^2}\cdot(x_i-x_{i-1})\]

 

이 나오게 되고 다시 적으면 다음과 같은 식이 나오게 됩니다.

 

\[2\pi\int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\]

 

그럼 처음에 봤던 식과 같은 식이 나오게 됩니다.

---

 

이렇게 회전체의 겉넓이를 구하는 방법에 대해 알아보았는데요. 뭔가 보시면서 이해가 잘 안 가고 엄밀해 보이지 않은 과정이 있을 수 있는데 이 부분에 대해서는 나중에 다시 포스팅하려고 합니다.

 

우선 회전체의 겉넓이 공식은 이렇구나 하고 넘어가시고 나중에 궁금하신 분들은 포스팅을 올리면 아래에 링크 달아둘 테니 참고하시면 되겠습니다.

 

참고로 아래 포스팅은 지난 시간 포스팅이었는데, 궁금하신 분들은 참고하셔도 좋을 것 같습니다.

 

그럼 오늘 포스팅은 여기서 마치도록 하고 다음 포스팅에서 다시 찾아뵙도록 하겠습니다.

 

곡선의 길이 구하기