무게 중심(질량 중심)과 모멘트

안녕하세요. 오늘은 무게 중심과 모멘트라는 것에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저 무게 중심과 모멘트가 무엇인지 말해보도록 하겠습니다.

 

 

무게 중심 : 어떤 물체의 무게의 가장 중심이 되는 위치

 

모멘트 : 위치 x 물리량

 

 

모멘트에서 물리량에 들어가는 것들에는 질량, 힘, 쿨롱 등과 같은 것들이 있는데 오늘은 질량이 들어간 경우에 대해 알아보도록 할 겁니다.

 

참고로 모멘트에 대해서 배울 때 글마다 설명하는 모멘트의 의미가 달라 헷갈려하시는 분들이 많은데요. 모멘트는 물리량이 어떤 물리량인지에 따라 모멘트의 의미는 달라지기 때문에 각 글마다 모멘트의 의미가 다를 수 있습니다.

 

하지만 결국 위의 모양처럼 위치x물리량의 형태의 수식이 있다면 이것은 모멘트라고 부르게 되는 것입니다. 또한 참고로 모멘트는 결국 회전과 관련이 있는 경우가 많다는 공통점이 있습니다.

 

어찌 됐든 잠시 위의 2가지를 모두 설명하는 예시를 통해 위의 두 개념을 좀 더 자세히 설명하도록 하겠습니다.

우선 위의 그림과 같이 x축 위에 질량이 없는 막대가 놓여있다고 해봅시다.

 

그리고 \(x_1\)인 위치에 질량 \(m_1\)의 물체가 있고 \(x_2\)인 위치에 질량 \(m_2\)의 물체가 있습니다. (단, \(x_1\)<\(x_2\)입니다.)

 

그리고 물체가 달린 막대의 무게 중심을 \(\overline{x}\)라고 하면 \(m_1(\overline{x}-x_1)=m_2(x_2-\overline{x})\)와 같은 식이 나오는 것을 알 수 있습니다.

 

혹시라도 위의 식이 이해가 잘 가지 않는다면 양변에 중력 가속도 g를 달고 주변 물체를 갖고 실험을 진행하며 비교해보는 것도 좋을 것 같습니다.

 

그럼 위의 식에서 무게 중심 위치를 유도하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

\(\overline{x}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\)

 

그러면 잠시 위의 식을 보면 i=1,2인 \(m_ix_i\)를 원점에 대한 물체 \(m_i\)의 모멘트라고 합니다.

 

여기까지가 우선 무게 중심과 모멘트의 기본 개념입니다.

 

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잠시 위에서 봤던 무게 중심 공식을 다시 한번 살펴보도록 하겠습니다.

 

\(\overline{x}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\)

 

이것은 다음과 같이 변경이 가능한데요.

 

\(\Rightarrow\) \(m_1(x_1-\overline{x})+m_2(x_2-\overline{x})=0\)

 

이것은 질량 \(m_i\)와 위치 \(x_i\)의 개수가 n개로 늘어도 같은 꼴을 유지하게 됩니다.

 

식으로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

\[\sum_{i=1}^km_i(x_i-\overline{x})=0\]

 

또한 마찬가지로 이것을 변형하면 다음과 같이 물체가 아무리 늘어나도 무게 중심은 다음과 같은 공식을 만족하는 것을 알 수 있습니다.

 

\[\Rightarrow \sum^k_{i=1}m_ix_i=\overline{x}\sum^k_{i=1}m_i\]

\(\therefore \overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^km_ix_i}{\sum_{i=1}^km_i}\)

 

즉, 무게 중심은 원점에 대한 각 물체의 모멘트의 합을 총질량으로 나눈 것 과 같습니다.

 

여기서 위의 식 중 첫 번째 식을 잘 보면 원점에 대한 모멘트의 총합은 결국 무게 중심에 대한 모멘트의 총합과 같다는 것을 알 수 있습니다.

 

사실 미적분학에서는 이 주제 자체가 자주 사용되는 부분은 아니기 때문에 중요하지 않아 보일 수 있지만, 다른 다양한 학문에서 이 방법은 자주 사용되기 때문에 기억해 놓는다면 나중에 도움이 될 겁니다.

 

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그럼 만약 x축에서만이 아니라 xy 평면에서 무게 중심은 어떻게 구할 수 있을까.

 

먼저 x축에 대해 거리 \(x_i\)만큼 떨어진 물체들의 모멘트 총합을 \(M_y\)라고 하고 반대의 경우를 \(M_y\)라고 하면, x와 y는 각각 독립적이기 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

\[M_y=\sum^k_{i=1}m_ix_i, M_x=\sum^k_{i=1}m_iy_i\]

 

그럼 여기서 총질량을 그냥 M이라고 하면 각 변수의 무게 중심은 다음과 같습니다.

 

\(\overline{x}=\frac{M_y}{M}\), \(\overline{y}=\frac{M_x}{M}\)

 

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마지막으로 이를 이용해 밀도가 균일한 도형의 무게 중심을 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

먼저 xy평면에 함수 y=f(x), x=a, x=b, x축으로 둘러싸인 어떤 판이 있다고 해봅시다.

 

여기서 적분할 때 분할로 나눈 것처럼 작은 띠로 나눠봅시다.

 

그리고 i번째 띠의 질량을 \(\triangle m_i\)라고 하고, 각 띠의 무게 중심을 \((\overline{x_i}, \overline{y_i})\)라고 해봅시다.

 

그러면 판의 무게 중심은 다음과 같게 됩니다.

 

\(\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum_{i=0}^n\overline{x_i}\triangle m_i}{\sum_{i=0}^n \triangle m_i}\)

\(\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum_{i=0}^n\overline{y_i}\triangle m_i}{\sum_{i=0}^n \triangle m_i}\)

 

여기서 도형이 모든 곳에서 밀도가 균일한 상수 밀도 \(\rho\)\((g/m^2)\)를 갖는다고 하면, i번째 띠의 무게 중심은 (\(\overline{x_i}\), \(\overline{y_i}\))=(\(\overline{x_i}\), \(f(\overline{x_i})/2\))이고, 질량 \(\triangle m_i\)는 \(\triangle m_i\)=\(\rho f(\overline{x_i})\triangle x_i\)가 됩니다.

 

여기서 위의 수식들을 조합해 각 축에 대한 모멘트를 구하면 다음과 같이 나오게 됩니다.

 

\[M_y=\sum\overline{x_i}\rho f(\overline{x_i})\triangle x_i\]

\[M_x=\sum \overline{y_i}\rho f(\overline{x_i})\triangle x_i=\rho \sum\frac{[f(\overline{x_i})]^2}{2}\triangle x_i\]

 

\[\Rightarrow M_y=\int_{a}^{b} x\rho f(x)dx=\rho \int_{a}^{b} xf(x)dx\]

\[\Rightarrow M_x=\int_{a}^{b} \overline{y}\rho f(x)dx=\rho \int_{a}^{b} \frac{1}{2}\left[f(x)^2\right]dx\]

 

그럼 무게 중심은 다음과 같이 쉽게 구할 수 있게 됩니다.

 

\[\overline{x}=\frac{\rho \int_{a}^{b} xf(x)dx}{\rho \int_{a}^{b} f(x)dx}=\frac{\int_{a}^{b} xf(x)dx}{\int_{a}^{b} f(x)dx}\]

\[\overline{y}=\frac{\rho \int_{a}^{b} \frac{1}{2}\left[f(x)^2\right]dx}{\rho \int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{ \int_{a}^{b} \frac{1}{2}\left[f(x)^2\right]dx}{ \int_{a}^{b}f(x)dx}\]

 

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오늘은 무게 중심과 모멘트라는 것에 대해 다루어 봤습니다. 사실 오늘 다룬 내용은 미적분보다는 물리에 가까운 내용이었는데요.

 

사실 앞서 배운 도형의 부피, 겉넓이 등의 내용과 함께 오늘 배운 내용은 응용 학문들에서 굉장히 자주 사용되는 내용이기 때문에 잘 배워두시면 좋겠습니다.

 

그럼 오늘 포스팅은 여기서 마무리하고 다음 시간에 뵙도록 하겠습니다.