회전체의 부피 구하기

안녕하세요. 오늘은 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저 회전체란 어떤 축을 기준으로 도형을 한 바퀴 회전시켰을 때 나오는 입체를 말합니다.

 

예를 들면 원통이나 원뿔 같은 도형이 있죠.

 

이번 시간에는 이러한 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해 배워볼 텐데요.

 

회전체의 부피는 축이 어떤 것이냐에 따라서 구하는 방법이 달라집니다.

 

먼저 x축을 따라 회전한 회전체의 부피를 구하는 방법을 알아보겠습니다.

 

x축 주위로 회전한 회전체의 부피

 

먼저 x축으로 회전한 회전체의 부피를 구할 때에는 저번 시간에 배웠던 입체의 부피 구하기 방법을 사용해 구할 수 있습니다.

 

도형의 부피 구하기(+엄밀한 증명)

 

먼저 아래와 같은 회전체가 있다고 해봅시다.

 

 

이러한 도형의 단면을 구해보면 단면 S(x)는 다음과 같이 나오는 것을 알 수 있습니다.

 

\[S(x)=\pi [f(x)]^2\]

 

따라서 이 도형의 부피는 폐구간 [a,b]에서 다음과 같이 됩니다.

 

\[\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2dx\]

 

다음 예제를 통해 좀 더 자세히 알아봅시다.

 

예제) \(y=\sqrt{x}(x^2+1)\)의 함수가 x축을 따라 회전했을 때, x=0, x=1로 둘러싸인 회전체의 부피를 구해라.

 

먼저 위와 같은 회전체를 가정했을 때, 입체의 단면 S(x)는 위와 같이 \(S(x)=\pi [f(x)]^2\)일 것입니다.

 

따라서 위의 공식에 대입해 치환적분법을 사용하면 다음과 같이 나오게 됩니다.

 

\[\pi \int_{0}^{1} x(x^2+1)^2dx=\frac{\pi}{2} \int_{1}^{2} 1\cdot t^2dt=\frac{7\pi}{6}\]

 

 

y축 주위로 회전한 회전체의 부피

 

그럼 도형이 y축 주위로 회전했을 때 회전체의 부피를 구해보도록 하겠습니다.

 

사실 이러한 도형의 부피를 구할 때에는 함수를 x=f(y)꼴로 만들어 y에 대해 위의 공식을 적용해도 도형의 부피를 충분히 잘 구할 수 있습니다.

 

이해가 어려울 수도 있지만 아래의 그림을 보면 이런 꼴의 도형을 구할 때에는 위와 같은 방법으로 구해도 좋습니다.

 

 

하지만 수학을 계속해서 공부하다 보면 앞으로 배우게 될 방법을 사용할 때 부피를 좀 더 쉽게 구할 수 있는 경우들도 있기 때문에 이러한 방법도 잘 알아두는 것이 좋습니다.

 

먼저 이 방법은 원통껍질방법, 원통각법, 디스크 방법 다양한 방법으로 불리는데요.

 

이름에서처럼 회전체를 마치 양파껍질처럼 하나씩 쌓아 올려 부피를 구하는 방법입니다.

 

이렇게 위와 같이 각각의 껍질들을 더하는 방식을 이용하는데 먼저 위에서 고리 하나를 가져와 펼쳐본다고 합시다.

 

그럼 다음과 같이 펼쳐진 사면체를 볼 수 있습니다.

 

그럼 이 사면체의 밑면은 사다리꼴이기 때문에 부피가 다음과 같이 나오는데,

 

\[2\pi \frac{x_i+x_{i-1}}{2}f(x^*_i)(x_i-x_{i-1})\]

 

여기서 \(f(x^*_i)\)의 최댓값을 \(M_i\), 최솟값을 \(m_i\)라고 한다면, 중간값 정리로 인해

 

\[V_i=2\pi \frac{x_i+x_{i-1}}{2}f(x^*_i)(x_i-x_{i-1})\]

 

를 만족하는 \(x^*_i\)가 존재함을 알 수 있습니다.

 

따라서 구하고자 하는 부피는 다음과 같이 되는 것을 알 수 있습니다.

 

\[V=\lim_{\mid P \mid \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n2\pi \frac{x_i+x_{i-1}}{2}f(x^*_i)(x_i-x_{i-1})\]

\[=\int_{a}^{b} 2\pi xf(x)dx\]

 

이 식을 이용하면 굳이 x=f(y)에 대한 식으로 바꾸어 y축을 회전하는 회전체의 부피를 구하지 않아도 됩니다.

 

한번 예제를 통해 적용시켜 보겠습니다.

 

예제) \(y=\sqrt x\)와 x=4로 둘러싸인 도형이 y축으로 회전한 회전체의 부피를 구하여라

 

그럼 위의 공식에 대입해 부피를 구하면 다음과 같이 답이 나오게 됩니다.

 

\[2\pi\int_{0}^{4} x\sqrt x dx=2\pi\left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]^4_0=\frac{128\pi}{5}\]

 

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오늘은 이렇게 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해 알아보았습니다.

 

그럼 다음 포스팅에서 다시 만나도록 하겠습니다.