곡선 사이 영역의 넓이 구하기

곡선 사이의 영역의 넓이

 

오늘은 곡선 사이의 영역의 넓이를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

여기서 의문이 들 수도 있으신데요. 저번 시간에 정적분에 대해 배울때 정적분은 애초에 함수의 면적을 구하는거라 했는데, 곡선 사이의 영역의 넓이를 구하는 법을 따로 배워야 할까? 라는 의문이 들 수도 있습니다.

 

이는 정적분과 넓이의 개념이 다르기 때문인데요. 정적분은 어떤 값을 구하는 것인데 반해, 넓이는 항상 양수값이 나와야 합니다. 다음 예시를 통해 더 자세하게 알아보겠습니다.

 

 

만약 위의 그림처럼 y=x-1과 같은 그래프가 있다고 해봅시다.

 

그리고 함수 f(x)를 [0,3]에서 정적분을 하면 계산은 간단하니 넘어가면 답은 3/2이 나옵니다.

 

하지만 실제로 우리가 아는 삼각형의 넓이를 구하면 어떻게 될까요?

 

먼저 왼쪽 삼각형은 1/2이고 오른쪽 삼각형은 2가 나오므로 전체 넓이는 5/2가 나옵니다.

 

우리는 정적분은 면적을 구하는 것이라고 했는데, 왜 둘의 값은 다른 것일까요?

 

그 이유는 애초에 정적분의 정의가 그렇기 때문입니다.

 

정적분은 어떤 영역과 함수로 둘러싸인 곳의 면적을 구하는 도구인 것은 맞지만 저번 시간에 배운 정적분의 정의를 보면 구분구적법에서 면적의 값이 분할된 사각형의 밑면과 치역의 곱의 합인 것을 알 수 있습니다.

 

그렇기 때문에 면적의 값이 음의 값이 나올 수도 있게 되는 것이죠.

 

그러면 '정적분은 왜 면적을 구하기 위해 만들어진 거면서 음의 값이 존재하는걸까?'하고 생각하실 수도 있을 것 같은데요.

 

사실 정적분은 항상 면적을 구하기 위해서만 사용되는 것이 아닙니다. 정적분은 다양한 곳에 사용이 되는데요.

 

대표적으로는 힘을 구할 때 정적분이 사용되기도 합니다. 여기서 만약 힘이 음의 값이 나온다면 양의 방향과 반대 방향으로 물체가 힘을 받고 있다는 뜻이죠.

 

어찌됐든 그런 이유로 넓이와 정적분은 어떤 범위내의 면적을 구한다는 것은 같지만 정적분에는 음의 값이 존재하기도 합니다.

 

그러면 함수의 정적분을 구하는 것과 달리 넓이는 어떻게 구해야 할까요.

 

사실 방법은 위에서 설명하면서 모두 설명을 했습니다.

 

좀 더 자세히 설명하자면 어떤 범위로 둘러싸인 함수의 면적을 구하기 위해서는 먼저 함숫값이 음수가 되는 지점이 있는지를 알아볼 필요가 있습니다.

 

그러면 그 부분만 다시 -를 붙여 양수로 만들어주면 되는 것이죠.

 

위의 예시를 다시 한 번 들어보도록 하겠습니다.

 

예제) y=x-1, x=0,3 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

 

먼저 우리는 위에서 x=1을 기준으로 왼쪽 도형의 면적이 정적분을 하면 음의 값이 나오는 것을 확인했습니다.

 

따라서 우리는 다음과 같이 계산이 가능합니다.

 

\[-\int_{0}^{1} (x-1)dx+\int_{1}^{3} (x-1)dx=\frac{5}{2}\]

 

 

그림을 그리면 위의 그림과 같이 나타나는데요. 이것은 우리가 중학생때 배웠던 함수의 절댓값과 같습니다.

 

따라서 어떤 함수의 넓이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

\[\int_{a}^{b}\mid f(x)\mid\]

 

그럼 좀 더 심화된 개념인 두 곡선 사이의 넓이를 구해보도록 합시다.

 

위의 그림처럼 빨갛게 칠해진 두 곡선 사이의 넓이를 구해보겠습니다. 바로 구해봅시다.

 

먼저 두 곡선이 교차하는 지점을 b라고 합시다.

 

그러면 넓이는 항상 양수가 되어야 하는데요.

 

[a,b]에서 f(x)가 g(x)보다 치역이 더 큰 것을 알 수 있기 때문에 식으로 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

\[\int_{a}^{b} f(x)dx-\int_{a}^{b} g(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)-g(x)dx\]

 

그리고 [b,c]에서는 g(x)가 f(x)보다 치역이 더 크므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

\[\int_{b}^{c} g(x)dx-\int_{b}^{c} f(x)dx=\int_{b}^{c} g(x)-f(x)dx\]

 

둘을 더하면 다음과 같은 꼴이 나타나는데, 식을 보면 이것은 결국 f(x)-g(x)라는 새로운 함수의 넓이를 구하는 것과 같습니다. 그렇기 때문에 어떤 두 곡선 사이의 넓이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

\[\int_{a}^{b} f(x)-g(x)dx+\int_{b}^{c} g(x)-f(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)-g(x)dx+\int_{b}^{c} -\left(f(x)-g(x)\right)dx\]

 

\[=\int_{a}^{c} \mid f(x)-g(x)\mid dx\]

 

참고로 이 식은 꼭 두 곡선이 아니라 두 직선끼리도 그리고 직선과 곡선 사이에서도 사용할 수 있습니다.

 

그럼 잠시 이것도 예제 하나 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

예제) \(f(x)=x^2-1\), \(g(x)=-x^2+1\), x=0,2로 둘러쌓인 면적의 넓이를 구하여라

 

 

그럼 위에서 배운 식을 이용해 바로 구해보도록 합시다.

 

\[\int_{0}^{2} \mid x^2-1-(-x^2+1)\mid dx=\int_{0}^{2} \mid 2x^2-2\mid dx\]

 

이 함수가 0이 되는 지점은 x=1,-1 입니다. 그럼 우리는 [0,2]에서의 넓이를 구하는 것이기 때문에 위의 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 만약 여기서 어떤 구역에서 함수가 음수가 되는지 헷갈린다면 함수에 각각 0과 2를 넣어 빼보면 쉽게 구할 수 있습니다.

 

\[\int_{0}^{2} \mid 2x^2-2\mid dx=\int_{0}^{1} -2x^2+2 dx+\int_{1}^{2} 2x^2-2 dx\]

 

답을 구하면 정답은 4가 나오게 됩니다.

 

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여기까지가 오늘 배운 두 곡선 사이의 넓이를 구하는 방법입니다. 사실 개념 자체는 너무 당연하고 어렵지는 않은 내용입니다.

 

근데 많은 분들이 그냥 정적분은 그냥 음의 값도 나온다고만 생각하고 심지어는 왜 음의 값이 나오는지 물어보면 정적분의 정의가 쉽게 안 나오기도 하는데요.

 

오늘 내용을 통해 당연하지만 정적분과 넓이에 대해 조금이나마 더 논리적인 이해가 됐으면 좋을 것 같습니다.

 

그럼 오늘 내용은 여기서 마무리하도록 하고 다음 포스팅에서 다시 찾아뵙도록 하겠습니다.