도형의 부피 구하기

안녕하세요. 오늘은 도형의 부피를 구하는 방법에 대해 배워보도록 하겠습니다.

 

도형의 부피 구하기

 

먼저 오늘 배울 도형의 부피 구하기는 간단한 모양의 도형들에 대해서 부피를 구하는 방법에 대해 배우도록 할 것입니다.

 

오늘 배울 방법은 모든 도형에 대해 사용할 수 있는 방법은 아니지만, 그래도 꽤나 다양한 입체에 대해 부피를 구할 수 있는 방법이기 때문에 알아두면 유용하게 사용할 수 있는 방법 중 하나입니다.

 

이러한 도형의 부피 구하는 방법은 정적분을 이용해 부피를 구하게 되는데요. 어떤 식으로 부피를 구하게 되는지 같이 알아보겠습니다.

 

먼저 밑의 그림과 같이 생긴 도형이 있다고 해보도록 하겠습니다.

 

여기서 위와 같이 \(x=x_i\)로 절단한 단면의 넓이를 S(x)라고 하겠습니다.

 

만약 S(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이면 위의 입체의 [a,b]사이에서의 부피는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

\[V=\int_{a}^{b} S(x)dx\]

 

이것을 좀 더 쉽게 설명하자면 위에서 표현한 S(x)라는 단면을 계속해서 쌓아 올려 도형의 부피를 구하는 것이죠.

 

이게 부피 구하기의 전부입니다. 이것이 고등학교 수준에서 배우게 되는 도형의 부피 구하기인데요.

 

조금 더 설명하자면 위의 방법을 구분구적법을 이용해 구하면 S(x)에 \(\frac{a-b}{n}\)을 곱해 부피 S'(x)를 무한히 줄인 뒤 모두 더한 것이죠.

 

굳이 이것을 설명한 이유는 정말 부피를 적분할 때도 적분이 가능한지 우리가 앞에서 배웠던 리만 적분을 이용해 다시 한번 조금이나마 더 엄밀하게 증명해보기 위해 잠시 설명드렸습니다. 우리는 위의 아이디어를 이용해 엄밀하게 증명을 해보려고 하는데요.

 

증명을 하기 전에 혹시라도 궁금하신 분들이라면 적분 2,3편을 읽어보고 오시길 추천드리겠습니다.

 

만약 별로 궁금하지 않다면 아래로 넘어가 바로 예제를 풀어보는 것도 좋을 것 같습니다.

부정적분과 정적분(고등과정부터 대학과정까지 알아보자)-2

부정적분과 정적분(고등과정부터 대학과정까지 알아보자)-3

 

먼저 이에 대한 증명을 하기 위해서는 [a,b]를 임의의 분할 \(P:{a=x_0,x_1,x_2,...,x_n=b}\)로 나누어 줍니다.

 

그러면 \([x_{i-1},x_i]\)에서 S(x)의 최소를 \(m_i=S(x'_i)\), 최대를 \(M_i=S(x''_i)\)라고 하면 \(V_i\)는 위의 아이디어를 빌려 다음과 쓸 수 있습니다.

 

\[m_i(x_i-x_{i-1}) \leq V_i \leq M_i(x_i-x_{i-1})\]

 

그러면 여기에 시그마를 씌우면 다음과 같이 나타낼 수 있는데요.

 

\[\sum_{i=1}^nS(x'_i)(x_i-x_{i-1})\leq V\leq \sum_{i=1}^nS(x''_i)(x_i-x_{i-1})\]

 

적분-3편에서는 어떤 함수가 [a,b]에서 연속이라면 리만 상합과 리만 하합이 같음을 배웠기 때문에 다음이 성립하는 것을 알 수 있습니다.

 

\[\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^nS(x'_i)(x_i-x_{i-1})= \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^nS(x''_i)(x_i-x_{i-1})\]

\[=\int_{a}^{b} S(x)dx=V\]

 

즉, 어떤 도형의 부피를 적분을 통해 구할 수 있음을 알 수 있습니다.

 

그럼 다음 예제를 통해 도형의 부피 구하는 방법을 좀 더 자세하게 알아보도록 하겠습니다.

 

예제 )

 

밑면의 반지름이 a인 원기둥을 밑면의 지름과 45º를 이루는 평면으로 절단해서 생기는 입체의 부피를 구하여라

먼저 이것은 원기둥을 45도의 평면으로 밑면의 지름을 지나도록 절단한 도형의 그림인데요.

 

도형을 다음처럼 배치하면 그림이 이등변 삼각형처럼 보이진 않지만 만약 z축이 있다면 z=f(y)=y로 입체를 절단했기 때문에 S(x)는 직각 이등변 삼각형이 되는 것을 알 수 있습니다.

 

그럼 여기서 우리는 S(x)를 구해야 하는데요. S(x)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

\(S(x)=\frac{f^2(x)}{2}\)

 

\[=\frac{1}{2}(\sqrt{a^2-x^2})^2\]

 

여기서 바로 정적분을 이용하면

 

\[V=\int_{-a}^{a} S(x)dx=2\int_{0}^{a}\frac{1}{2}(a^2-x^2)dx=\frac{2}{3}a^3\]

 

이 나오게 됩니다.

 

이 문제의 포인트는 도형을 어떻게 배치하고 S(x)를 어떻게 구할 수 있는가입니다.

 

먼저 위의 예제를 예시로 들면 배치를 저렇게 하지 않고 원기둥을 한쪽 끝을 원점에 맞춘다면 답을 구하기가 굉장히 어려워집니다.

 

또한 대부분의 문제들은 결국 도형의 밑면은 f(x)와 관련되어 있기 때문에 x에 대한 단면인 S(x)를 구할 때 위의 예제처럼 f(x)를 이용해 구해야 하는 경우가 많은데요.

 

즉, 이런 문제를 풀 때는 x에 대해 S(x)를 어떻게 나타낼 수 있는지를 고민한다면서 도형을 적절히 배치한다면 도형의 부피 문제는 쉽게 푸실 수 있을 겁니다.

 

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그럼 오늘 포스팅은 여기서 마무리하도록 하고 다음 포스팅에서 다시 뵙도록 하겠습니다.

 

모두 즐공하세요~