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미분적분학

롤의 정리와 평균값 정리

by 공뷘 2023. 1. 1.
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안녕하세요. 오늘은 롤의 정리와 평균값 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

롤의 정리

 

 

먼저 롤의 정리는 만약 어떤 구간 내에서 미분 가능하고 연속인 함수 f가 있고 구간의 양 끝점에서 함숫값이 같다면 접선의 기울기가 0이 되게 하는 접점이 존재한다는 내용입니다.

 

정리하면 다음과 같습니다.

 

롤의 정리

f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고, 개구간 (a,b)에서 미분가능하면

f(a)=f(b)이면 f'(c)=0인 c가 (a,b) 사이에 적어도 하나 이상 존재한다.

그럼 증명해보도록 합시다.

 

1) f(x)가 상수함수인 경우 : f'(x)는 항상 0이므로 (a,b) 내에 f'(x)=0 이 되게 하는 점이 존재합니다.

 

2) f(x)>f(a)인 경우 : f(x)는 폐구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)=f(b) 이므로 f(x)는 최댓값을 가지는데, 구간 내에서 미분 가능하므로 (a,b)에서 극댓값을 가지는 것을 알 수 있고 따라서 f'(x)=0이 되는 점이 존재함을 알 수 있습니다.

 

f(x)<f(a)인 경우는 2)의 방법을 사용하고 구간 내에 f(x)>f(a), f(x)<f(a) 둘 다 만족하는 경우라면 극댓값, 극소값이 둘 다 있어 또한 롤의 정리를 만족하게 됩니다.

 

평균값 정리

 

먼저 평균값 정리란 어떤 구간 내에서 함수가 미분이 가능하면 구간의 양쪽 끝점의 평균 변화율과 같은 기울기를 갖는 접선의 접점이 구간 내에 존재한다는 것을 식으로 정리한 것입니다.

 

이것도 정리하면 다음과 같습니다.

 

평균값 정리

f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고, 개구간 (a,b)에서 미분가능하면

\(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)를 만족하는 c가 개구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

 

증명은 간단합니다. [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능한 어떤 함수 \(g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)라고 하면 g(a)=0, g(b)=0을 만족해 롤의 정리에 의해 다음을 만족합니다.

 

\[g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\]

 

g(x)가 연속이고 미분 가능하기 때문에 f(x)도 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고, 개구간 (a,b)에서 미분가능이고 따라서 \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)를 만족하는 c 또한 개구간 (a,b)에 적어도 하나 존재하는 것을 알 수 있습니다.

 


오늘은 이렇게 롤의 정리와 평균값 정리에 대해 알아보았습니다. 이 정리들은 간단해도 여러 군데에서 자주 쓰이는 정리들이니 잘 기억해두시면 좋을 것 같습니다.

 

그럼 오늘 포스팅은 여기서 마치고 다음 시간에 다시 찾아뵙도록 하겠습니다! 열공!

 

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