로피탈 정리의 간결한 이해와 주의점

안녕하세요. 오늘은 로피탈 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

로피탈 정리

 

먼저 로피탈 정리란 극한에서 \(\frac{0}{0}\)꼴이나 \(\frac{\infty}{\infty}\)꼴 등 다양한 함수 꼴의 극한을 쉽게 구하기 위해 사용되는 방법입니다.

 

먼저 로피탈 정리는 다음과 같습니다.

 

로피탈 정리 함수 f,g가 x=a 근처에서 미분 가능이고, \(g' \neq 0\)이며 만약 \(\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\lim_{x \rightarrow a}g(x)=0\)이고 \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)가 존재하면, \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)이다.

 

여기서는 먼저 0/0꼴에 대해 정리를 하는데요. 이것을 통해 다양한 따름 정리가 생기게 되기 때문에 이게 로피탈 정리의 가장 기본이라 할 수 있겠습니다.

 

먼저 정리를 증명해보도록 하겠습니다.

 

만약 f,g가 a에서 연속이라면 f(a),g(a)=0이어야 합니다. 따라서 다음과 같이 등식이 성립됩니다.

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\]

 

여기서 우리는 평균값 정리를 이용하면 다음의 조건을 만족하는 점 c가 (x,a)에 있는 것을 알 수 있습니다.

 

\[\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\]

 

그러면 c는 [x,a]에 있으므로 x가 a로 가면 c도 a로 가기 때문에

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{c \rightarrow a}\frac{f'(c)}{g'(c)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

 

이 되는 것을 알 수 있습니다.

 

증명이 아주 간단하죠?

 

그럼 이번에는 \(\frac{\infty}{\infty}\)꼴에 대해 증명해보도록 하겠습니다.

 

따름정리 1 f,g가 x=a 근방에서 미분 가능이고 \(g'(x) \neq 0\)이며 \(x \rightarrow a\)일 때, \(f,g \rightarrow \infty\)이고 \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)가 존재하면 다음을 만족한다. \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

 

이것은 위에서 정리한 로피탈 정리를 이용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.

 

먼저 \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\)를 \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}\)꼴로 바꿔주도록 합시다.

 

그러면 분모와 분자가 0으로 가게 되어 다음을 만족합니다.

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{\left[\frac{1}{g(x)}\right]'}{\left[ \frac{1}{f(x)}\right]'}\]

 

\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{\frac{g'(x)}{g^2(x)}}{ \frac{f'(x)}{f^2(x)}}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f^2(x)g'(x)}{g^2(x)f'(x)}\]

 

즉, 다음을 만족하므로

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f^2(x)g'(x)}{g^2(x)f'(x)}\]

 

극한의 계산 방법에 따라 좌변과 우변을 각각 넘겨주면

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

 

을 만족하는 것을 알 수 있습니다.

 

하지만 여기서 주의해야 할 점이 있는데요. 만약 \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\)=0이라면 이항을 할 수 없습니다.

 

그렇기 때문에 이러한 경우에 대해 따로 증명을 해줘야 하는데요.

 

이 경우는 위에서 정리한 내용을 이용해 증명해보도록 하겠습니다.

 

먼저 \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)+g(x)}{g(x)}\)꼴의 극한이 있다고 합시다.

 

이것은

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)+g(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}+1=1\]

 

을 만족합니다.

 

그러면 \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)+g(x)}{g(x)}\)가 0이 아니기 때문에 위에서 정리한 내용을 사용할 수 있습니다.

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)+g(x)}{g(x)}= \lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)+g'(x)}{g'(x)}\]

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)+g'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}+1\]

 

결국 다음을 만족하기 때문에 f/g의 극한이 0이더라도 따름 정리가 성립하는 것을 알 수 있습니다.

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}+1=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}+1\]

 

\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

 

 

이렇게 위에서 극한의 \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\)꼴이 나올 때 쉽게 계산하는 방법을 배웠는데요. 이러한 꼴을 보고 우리는 부정형이라고 합니다.

 

예를 들어 \(\frac{0}{\infty}\)나 \(\frac{\infty}{0}\)과 같은 꼴의 극한이 있다고 해봅시다.

 

그러면 왼쪽은 0, 오른쪽은 발산하는 것을 쉽게 알 수 있는데요.

 

하지만 0/0꼴 같이 함수가 수렴하는지 발산하는지 알기 어려운 경우가 있습니다. 이를 보고 부정형이라고 하는 것이죠.

 

부정형의 대표적인 예로는 다음과 같은 것들이 있는데요. 모두 로피탈 정리를 잘 이용하면 극한값을 구하기 어려울 때 쉽게 구할 수 있습니다. (이에 대해서는 나중에 다시 정리하도록 하겠습니다.)

 

\[\infty-\infty, \infty\cdot 0, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 1^{\infty}, 0^0, \infty ^0\]

 

로피탈 정리 주의점

 

위에서 \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\)꼴일 때, 극한값을 구하는 방법을 배워봤는데요.

 

하지만 로피탈 정리는 함부로 사용하지 않는 것이 좋습니다.

 

그 이유는 로피탈 정리를 사용하면 오히려 극한을 틀리거나 풀기가 어려워질 때가 있기 때문입니다.

 

예를 들면 \(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(tan(x))^2}{tan(x)^2}\)과 같은 함수가 있다고 해봅시다.

 

이 함수는 로피탈 정리를 이용해 풀면

 

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2tanx\cdot sec^2x}{2x\cdot sec^2(x^2)}\]

 

과 같은 꼴이 나와 풀기가 굉장히 어렵게 됩니다.

 

하지만 다음처럼 로피탈 정리를 사용하지 않는다고 해봅시다.

 

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(\frac{tanx}{x}\right)^2}{\frac{tan(x^2)}{x^2}}=1\]

 

굉장히 쉽게 풀리는 것을 볼 수 있습니다.

 

이처럼 특히 고등학교 시험이라면 문제를 꼬아서 낼 가능성이 있는데요. 그렇기 때문에 먼저 정석적인 방법을 이용해 풀면서 로피탈의 정리도 한 번씩 사용하며 어떤 경우에 로피탈의 정리를 사용하는 게 좋은지 알아가는 것이 좋습니다.

 

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오늘은 이렇게 로피탈의 정리에 대해 알아보았는데요. 이해가 잘 가셨나요? 혹시라도 이해가 잘 안 가는 부분이 있다면 댓글을 통해 질문 남겨주시면 빠르게 답변을 드리도록 하겠습니다.

 

그럼 오늘 내용은 여기서 마무리하도록 하고 다음 포스팅에서 새로운 내용으로 다시 오겠습니다.

 

즐공하세요~