반응형 전체 글110 곡선의 길이 구하기 안녕하세요. 이번 시간에는 적분을 이용해 곡선의 길이를 구해보도록 하겠습니다. 먼저 곡선의 길이는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 곡선의 길이 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능이며, f'(x)가 연속이면 곡선의 길이는 다음과 같다. \[L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\] 한 번 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 아이디어는 이렇습니다. 아래의 그림과 같이 곡선 위에 어떤 점들이 있으면 그중 서로 가장 가까운 점들끼리 선을 이어 무수히 많은 직선들의 합을 구해 곡선의 근삿값을 찾는 것입니다. 먼저 함수 y=f(x)가 [a,b]에서 정의될 때, 폐구간 [a,b]에 임의의 분할 P가 있다고 해봅시다. 여기서 분할이란 말 그대로 폐구간 [a,b]를 여러.. 2023. 1. 3. 롤의 정리와 평균값 정리 안녕하세요. 오늘은 롤의 정리와 평균값 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다. 롤의 정리 먼저 롤의 정리는 만약 어떤 구간 내에서 미분 가능하고 연속인 함수 f가 있고 구간의 양 끝점에서 함숫값이 같다면 접선의 기울기가 0이 되게 하는 접점이 존재한다는 내용입니다. 정리하면 다음과 같습니다. 롤의 정리 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고, 개구간 (a,b)에서 미분가능하면 f(a)=f(b)이면 f'(c)=0인 c가 (a,b) 사이에 적어도 하나 이상 존재한다. 그럼 증명해보도록 합시다. 1) f(x)가 상수함수인 경우 : f'(x)는 항상 0이므로 (a,b) 내에 f'(x)=0 이 되게 하는 점이 존재합니다. 2) f(x)>f(a)인 경우 : f(x)는 폐구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)=f(b) .. 2023. 1. 1. 회전체의 부피 구하기 안녕하세요. 오늘은 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다. 먼저 회전체란 어떤 축을 기준으로 도형을 한 바퀴 회전시켰을 때 나오는 입체를 말합니다. 예를 들면 원통이나 원뿔 같은 도형이 있죠. 이번 시간에는 이러한 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해 배워볼 텐데요. 회전체의 부피는 축이 어떤 것이냐에 따라서 구하는 방법이 달라집니다. 먼저 x축을 따라 회전한 회전체의 부피를 구하는 방법을 알아보겠습니다. x축 주위로 회전한 회전체의 부피 먼저 x축으로 회전한 회전체의 부피를 구할 때에는 저번 시간에 배웠던 입체의 부피 구하기 방법을 사용해 구할 수 있습니다. 도형의 부피 구하기(+엄밀한 증명) 안녕하세요. 오늘은 도형의 부피를 구하는 방법에 대해 배워보도록 하겠습니다. 도형의 부피 구.. 2022. 12. 25. 도형의 부피 구하기 안녕하세요. 오늘은 도형의 부피를 구하는 방법에 대해 배워보도록 하겠습니다. 도형의 부피 구하기 먼저 오늘 배울 도형의 부피 구하기는 간단한 모양의 도형들에 대해서 부피를 구하는 방법에 대해 배우도록 할 것입니다. 오늘 배울 방법은 모든 도형에 대해 사용할 수 있는 방법은 아니지만, 그래도 꽤나 다양한 입체에 대해 부피를 구할 수 있는 방법이기 때문에 알아두면 유용하게 사용할 수 있는 방법 중 하나입니다. 이러한 도형의 부피 구하는 방법은 정적분을 이용해 부피를 구하게 되는데요. 어떤 식으로 부피를 구하게 되는지 같이 알아보겠습니다. 먼저 밑의 그림과 같이 생긴 도형이 있다고 해보도록 하겠습니다. 여기서 위와 같이 \(x=x_i\)로 절단한 단면의 넓이를 S(x)라고 하겠습니다. 만약 S(x)가 폐구간 .. 2022. 12. 20. 곡선 사이 영역의 넓이 구하기 곡선 사이의 영역의 넓이 오늘은 곡선 사이의 영역의 넓이를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다. 여기서 의문이 들 수도 있으신데요. 저번 시간에 정적분에 대해 배울때 정적분은 애초에 함수의 면적을 구하는거라 했는데, 곡선 사이의 영역의 넓이를 구하는 법을 따로 배워야 할까? 라는 의문이 들 수도 있습니다. 이는 정적분과 넓이의 개념이 다르기 때문인데요. 정적분은 어떤 값을 구하는 것인데 반해, 넓이는 항상 양수값이 나와야 합니다. 다음 예시를 통해 더 자세하게 알아보겠습니다. 만약 위의 그림처럼 y=x-1과 같은 그래프가 있다고 해봅시다. 그리고 함수 f(x)를 [0,3]에서 정적분을 하면 계산은 간단하니 넘어가면 답은 3/2이 나옵니다. 하지만 실제로 우리가 아는 삼각형의 넓이를 구하면 어떻게 될.. 2022. 12. 19. 로피탈 정리의 간결한 이해와 주의점 안녕하세요. 오늘은 로피탈 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다. 로피탈 정리 먼저 로피탈 정리란 극한에서 \(\frac{0}{0}\)꼴이나 \(\frac{\infty}{\infty}\)꼴 등 다양한 함수 꼴의 극한을 쉽게 구하기 위해 사용되는 방법입니다. 먼저 로피탈 정리는 다음과 같습니다. 로피탈 정리 함수 f,g가 x=a 근처에서 미분 가능이고, \(g' \neq 0\)이며 만약 \(\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\lim_{x \rightarrow a}g(x)=0\)이고 \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)가 존재하면, \(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\fra.. 2022. 12. 12. 이전 1 2 3 4 5 6 7 ··· 19 다음 반응형
