일, 일-에너지 정리, 역학적 에너지 보존

안녕하세요. 오늘은 일과 에너지에 대해서 알아보도록 합시다.

 

우선 일상생활에서는 일이란 노동의 의미를 갖습니다. 하지만 물리학적으로는 힘이 물체에 가해졌을때, 물체의 위치가 변한다면, 힘이 일을 했다고 합니다. 

 

물리학에서의 일의 정의는 다음과 같습니다.

여기서 F는 힘의 크기, d는 변위의 크기를 나타냅니다. 이에 대한 증명은 미분방정식과 함께 다루도록 하겠습니다.

 

우선 다음과 같이 힘과 변위의 방향이 일치하지 않는다면, 힘과 변위 사이의 각도를 이용해 코사인을 구해서 곱해주면 됩니다.

한편, 알짜힘이 한 일은 다음과 같이 나타납니다.

여기서 저희는 등가속도 운동에서 배운 식이 한 가지 있습니다.

https://gonbuine.tistory.com/6?category=436986 

일차원 운동-등가속도 운동

따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그러면 맨오른쪽식은 일의 단위와 같기 때문에 운동에너지를 다음과 같이 정의한다면, 알짜힘에 의한 일은 운동에너지의 변화량과 같다는 사실을 알 수 있습니다. 

위와 같이 일과 에너지의 관계에 대한 정리한 것을 일-에너지 정리라고 합니다. 즉, 운동에너지라는 것을 저렇게 정의하겠다는 것이고, 일과 에너지의 관계는 어떤 물체의 알짜일은 나중속도운동에너지에서 처음속도에너지를 뺀 값과 같다는 것입니다.

 

 

한편, 힘은 크게 두 가지로 나눌 수 있는데, 보존력과 비보존력으로 나뉩니다.

 

우선 보존력이란 어떤 두 점 사이로 물체가 이동할 때, 힘이 한 일이 어떤 경로를 따라 가더라도 같다면 그 때의 힘을 보존력이라고 합니다. 예를 들어 다이빙을 할 때, 조금 더 멀리 뛰어도 가깝게 뛰어도 중력이 다이버에게 한 일은 항상 같습니다. 그런 힘들을 보존력이고 합니다. 

 

이 때 알짜힘이 한 일은 보존력이 한 일과 비보존력이 한 일의 합입니다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 보존력이 한 일은 퍼텐셜 에너지의 변화량의 음의 값과 같은데, 여기서 퍼텐셜 에너지란 일을 할 수 있는 잠재적인 에너지라고 생각하시면 됩니다. 

 

만약 중력의 경우에 퍼텐셜 에너지를 구한다면, 다음과 같이 유도할 수 있습니다.

여기서 음의 부호가 붙은 이유는 원래는 힘도 음의 값이고 변위도 음의 값이기 때문입니다. 하지만 뒤에서는 변위만 음의값이기 때문에 전체의 값을 양의 값으로 다시 맞춰주기 위해 -가 붙습니다.

 

중력에서 퍼텐셜 에너지는 위치에 따라서 에너지의 값이 달라지기 때문에 위치에너지라고도 불립니다. 식은 다음과 같이 씁니다.

여기서 저희는 주로 위치에너지의 차이를 구하는 경우가 많기 때문에, 편의상 기준점을 저희가 원하는 곳에 두도록 합니다. 예를 들어 지표면을 0으로 두어도 되고, 10m로 두어도 됩니다. 하지만 원래는 지구와 물체사이의 거리임을 유의하도록 합시다.

 

한편, 비보존력이 0이라면, 다음과 같은 식이 나오게 됩니다.

 

따라서 다음과 같이 다시 한 번 정리할 수 있게 됩니다.

위의 식에 따르면, 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 합은 항상 일정함을 알 수 있습니다. 이 이야기는 비보존력이 없다면, 역학적 에너지는 항상 보존됨을 말합니다. 

 

이렇게 일, 일-에너지 정리, 역학적 에너지의 보존 법칙까지 보게 되었습니다.