극한의 엄밀한 정의-엡실론 델타 논법(쉽게 다가가보자)

안녕하세요. 오늘은 극한에 대해서 배워보도록 합시다.

 

미적분에서 극한은 아주 기본이 됩니다. 극한을 기본으로 미적분을 구축해 나가게되죠.

 

많은 분들이 고등학생때 극한에 대해 배우셨을 겁니다. 하지만 이번 시간에는 고등학생때 배웠던 극한보다 조금 더 엄밀하게 알아보는 시간을 갖는 시간이 되겠습니다.

 

우선 극한이란 무엇일까요? 주로 저는 고등학생 때, x가 a에 가까워질때, f(x)가 L에 가까워진다면, x가 a에 가까워질 때의 f(x)의 극한은 L이다. 라고 배웠던 것 같네요.

 

조금 더 교과서적인 정의로는 다음과 같이 적을 수 있습니다.

 

a를 포함하는 적당한 구간에서 정의된 함수 f(x)(a에서는 정의될 필요는 없음)에 대해, 어떤 수 L이 있어서, 0<lx-al가 0에 충분히 가까운 x에 대해 lf(x)-Ll도 0에 원하는 만큼 충분히 가까워질 때, 'x=a에서 함수 f의 극한이 L이다.' 라고 한다.

 

즉 다시 말하자면, 다음 그림에서와 같이 x의 범위가 a를 포함하는 적당한 구간에서 정의된 함수 f(주황색 선)가 정의됐다면, 어떤 수 L이 있다고 가정하고, x와 a의 차이의 절댓값이 0에 충분히 가깝고, 그에 상응하는 만큼의 f와 L의 차이의 절댓값이 0에 충분히 가깝다면, x=a에서 함수 f의 극한이 L이라고 한다는 겁니다. (또한 a를 제외한 적당한 구간에서는 f가 정의되어야 하지만, a에서는 f가 정의되지 않아도 극한이라는건 성립한다는 겁니다. 조금 더 설명하자면, x=a에서 f의 값이 없다는 얘기입니다. 그래프에서 본다면, 주황색 선에서 f(a)가 빈공간인 함수가 되겠습니다.)

위의 설명은 조금 더 풀어쓴다고 풀어썼지만, 이해하기 쉽지만은 않을 수 있겠네요. ㅋㅋ 조금 더 간단히 말하자면, x값이 a에 충분히 가까울 때, f 또한 L에 충분히 가깝다면, x=a에서 함수 f의 극한이 L이다.라고 할 수 있겠습니다.

 

어찌됐든, 저희는 위의 정의처럼 충분히 가깝다거나하는 표현은 엄밀한 표현이 아니기 때문에 조금 더 엄밀하게 정의해 줄 필요가 있습니다.

 

우선 함수의 극한의 엄밀한 정의는 다음과 같습니다.

 

 

a를 포함하는 적당한 구간에서 정의된 함수 f(x)(a에서 정의될 필요는 없음)에 대해 다음 성질을 만족하는 실수 L이 존재하면 "x=a에서 f(x)의 극한이 L이다."라고 한다. 임의의 양수 𝜀에 대해 만약 x∈(a-𝛿,a)∪(a,a+𝛿)이면 f(x)∈(L-𝜀,L+𝜀)을 만족하는 양수 𝛿가 존재한다. 즉 0<lx-al<𝛿 →lf(x)-Ll<𝜀 을 만족한다.

 

이 정의를 하나하나 뜯어보도록 해봅시다.

 

우선 [a를 포함하는 적당한 구간에서 정의된 함수 f(x)(a에서 정의될 필요는 없음)에 대해] 이 부분에 대해서는 위에서 설명한 부분입니다. (적당한 구간이라는게 엄밀하지 않다라고 생각되지만, 이 논법의 엄밀에 대한 포커스는 x가 a에 대해, f(x)가 L에 대해 아주 가까울 때를 엄밀하게 나타내는 것임으로 넘어가도록 합시다.)

 

그럼 다음으로 [다음 성질을 만족하는 실수 L]이라고 했으니 어떤 성질인지 한 번 보도록 해봅시다.

 

「임의의 양수 𝜀에 대해 만약 x∈(a-𝛿,a)∪(a,a+𝛿)이면 f(x)∈(L-𝜀,L+𝜀)을 만족하는 양수 𝛿가 존재한다.」

 

약간 말이 어려운 것 같기도 합니다. 한 번 차근차근 풀어봅시다.

 

우선 임의의 양수인 𝜀이 있다고 합니다.

 

그리고 x∈(a-𝛿,a)∪(a,a+𝛿)입니다. 그 때 함수 f에 x를 넣었을 때, f(x)∈(L-𝜀,L+𝜀)가 되게 하는 양수 𝛿가 존재한다는 겁니다. (혹시나 모르실 수도 있는 분들을 위해 적자면 ∈는 오른쪽이 왼쪽을 포함한다는 뜻을 갖고 있습니다.

 

조금 더 쉽게 설명해보자면, 정의에서는 '임의의 양수인 𝜀을 먼저 정해주겠다'는 겁니다. 그러고나서 우리가 'x의 범위를 𝛿를 이용해 범위를 정해줘보자'라는 것 입니다. 지금까지는 엡실론과 델타의 관계는 아무 관계도 아닙니다. 하지만 'f(x)∈(L-𝜀,L+𝜀)을 만족하는 양수 𝛿가 존재한다.'라고 말해줌으로써 다음 그림과 같이 표현됨을 알 수 있게 됩니다.

혹시라도 헷갈리실까봐 조금 더 첨언하자면 위의 그림에서처럼 델타의 선과 엡실론의 선이 꼭 교차해야 하는건 아닙니다. 단순히 f(x)가 (L-𝜀,L+𝜀)인 부분에서 델타가 존재하기만 하면 됩니다. 따라서 𝛿가 더 크면 f(x)가 범위를 벗어나기 때문에 안되겠지만, 𝛿가 더 작아도는 된다는 사실을 헷갈리지 않도록 합시다.

 

주로 저희는 'x가 a에 가까워질때, f(x)가 L에 가까워진다면, x가 a에 가까워질 때의 f(x)의 극한은 L이다.'라고 배우곤 했습니다. 이렇게 생각하시는 분들도 있을 것 같습니다. '아니, 극한의 정의와 전혀 다른 것 같은데, 왜 이렇게 설명했던거지?'하고요. 그럼 우선 정의를 다시 한 번 봅시다. 임의의 양수 𝜀에 대해라고만 되어있습니다. 이는 모든 양수중에서 어떤 임의의 양수를 선택해도 된다는 겁니다. 또한 그 말은 정의를 조금 더 따라가다 보면 아주 작은 𝜀에 대해서도 양수 𝛿가 존재한다면 함수의 극한은 L이라는 얘기가 되죠.(엡실론은 양수이기 때문에 실수의 조밀성에 의해 델타는 항상 존재할 수 밖에 없습니다.) 또한 그 말은 조금 더 생각해보면 0<lx-al<𝛿 →lf(x)-Ll<𝜀와 같이 요약 할 수 있습니다. 즉, 저희가 배웠던 것을 엡실론 델타 논법에서는 f(x)와 x가 각각 L과 a에 충분히 가까울 때에 대해 엄밀하게 증명해준 것이죠. 

 

여기서 0<lx-al<𝛿 →lf(x)-Ll<𝜀 x-a가 왜 0보다 커야만 하는지에 대해 궁금하실 분들도 있을 것 같습니다. 그 이유는 단순히 x-a=0이라면 그건 극한이 아니라 단순히 f(a)이기 때문입니다. 저희가 구하고자 하는건 x가 a에 한없이 가까워졌을 때f(x)가 어디를 향하는가를 구하는 것이지 단순히 x가 a로 향해 a가 되어 f(a)를 구하고자 하는게 아니니깐요. 그렇다면 여기서 드는 또 다른 의문은 '왜 lf(x)-Ll=0이 되어도 되는가'일 겁니다. 그 이유는 상수함수에서는 f(x)-L이 될 수 밖에 없기 때문입니다. 다음과 같은 함수를 예를 들면

 

f(x)=1(x<0 일 때), 0(x≥0 일 때)

 

여기서 x가 1에 가까워진다고 해봅시다. 그렇다면 그 때, 엡실론을 어떻게 잡든 델타가 1이하인 범위내에서 항상 존재하기 때문에 함수의 극한이 0인 것을 알 수 있습니다.

한 번 아쉬우니 예제 하나를 풀어봅시다. 위의 함수에서 x=0에서의 함수의 극한이 없음을 증명해보도록 합시다.

 

우선 x=0에서의 극한을 구해보도록 합시다. 그렇다면, 정의에 의하면 엡실론을 어떻게 잡아도 델타는 존재해야만 합니다. 하지만 델타는 양수여야 하지만, 𝜀<1이라고 하고 x=0에서 델타를 잡는다면, f(0)=0인 곳에서 왼쪽으로는 어떤 양수의 델타를 잡아도 f(x)가 정의가 되지 않기 때문에, 델타가 존재할 수 없습니다. 따라서 x=0에서는 함수의 극한이 존재하지 않음을 알 수 있습니다.

 

이렇게 오늘 엡실론 델타논법으로 극한에 대해 엄밀하게 정의한 것에 대해 알아보았습니다. 다음 시간에 또 다른 내용으로 찾아보도록 하겠습니다. ^^