부정적분과 정적분(고등과정부터 대학과정까지 알아보자)-3

안녕하세요. 오늘은 부정적분과 정적분에 대한 마지막 편입니다. 오늘은 연속함수의 리만 적분 가능성과 미적분의 기본 정리에 대해 알아볼 텐데요. 오늘도 따라가기 그렇게 어렵지는 않은 내용이기 때문에 잘 따라가다 보면 금방 이해가 가실 겁니다.

 

오늘 다룰 내용은 리만 적분과 극한의 엄밀한 정의에 대한 내용을 이용해 설명을 하기 때문에 아래의 포스팅을 보지 않았다면, 한 번씩 보고 오는 것을 추천드리겠습니다.

 

극한의 엄밀한 정의-엡실론 델타 논법(쉽게 다가가보자)

부정적분과 정적분(고등과정부터 대학과정까지 알아보자)-2

 

연속함수의 리만 적분 가능성

 

먼저 연속함수에서의 리만 적분 가능성에 대해 다뤄볼 텐데요. 저번 시간에 우리는 함수의 적분 가능성에 대한 정의를 배웠습니다. 내용은 다음과 같습니다.

 

[a,b]에서 유계(상,하한이 있는)인 함수 f가 다음 조건을 만족하면 f는 [a,b]에서 리만적분 가능하다. \((\forall\epsilon>0)\), \(U(f,P)-L(f,P)<\epsilon\) (\(\forall\epsilon>0\)을 해석하면 임의의 양수인 ϵ에 대하여라는 의미)

 

이 내용을 이용해 우리는 다음과 같은 결과를 도출해내야 합니다.

 

함수 f가 [a,b]에서 연속이라면, [a,b]에서 다음 조건을 만족한다. \((\forall\epsilon>0)\), \(U(f,P)-L(f,P)<\epsilon\) (\(\forall\epsilon>0\)을 해석하면 임의의 양수인 ϵ에대하여라는 의미)

 

먼저 이를 위해 연속의 정의에 대해 알아볼 필요가 있습니다.

 

함수 f가 점 x=a에서 다음 조건을 만족하면, 함수 f는 x=a에서 연속이다. \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)\]

 

즉, 함수 f는 x=a라는 점에서 엡실론-델타 논법에 의해 극한값이 존재한다는 것입니다. 이를 연속함수에 대입하면 연속함수는 모든 점에서 연속인 함수이기 때문에 엡실론-델타 논법에 의해 극한값이 모든 점에서 존재합니다. 이것을 요약해서 다시 쓰면 다음과 같습니다.

 

함수 f가 [a,b]에서 연속이라면, [a,b]의 모든 점에서 다음 조건을 만족한다. (\(\forall \epsilon>0, \exists\delta\) s.t.), \(0 < \mid x-x' \mid<\delta\) \(\rightarrow\) \(\mid f(x)-f(x')\mid<\epsilon\) (첫 번째 괄호는 임의의 양수 𝜀에 대해 다음 조건을 만족하는 𝛿가 존재한다는 의미)

 

이 정리를 이용해 우리는 연속함수의 적분 가능성을 알아볼 수 있습니다.

 

먼저 위의 조건을 약간 변형하여 다음과 같이 만들어 줍시다. (여기서 어차피 모든 양수 엡실론에 대해 만족해야 하므로 다음의 조건으로 바꾸어 주어도 괜찮습니다.)

 

\((\forall\epsilon>0, \exists\delta s.t.) \), \(0 < \mid x-x' \mid<\delta\) \(\rightarrow\) \(\mid f(x)-f(x')\mid<\frac{\epsilon}{b-a}\)

 

이후 우리는 분할의 크기 중 가장 큰 크기가 \(\mid P \mid\ <\delta\)를 만족하는 P가 있다고 가정해봅시다.

 

그리고 임의의 구간 \([x_{i-1},x_i]\)에서의 최대, 최소를 다음과 같이 표시합시다.

 

\(f(x'_i)=M_i , f(x''_i)=m_i\)

 

그러면 \(\mid P \mid\)는 분할의 크기 중 가장 큰 것이므로 다음과 같은 조건을 만족하게 됩니다.

 

\(\mid x'_i-x''_i \mid \leq x_i-x_{i-1} \leq \mid P \mid < \delta\)

 

그럼 잠시 돌아가 위의 조건을 보도록 합시다.

 

\((\forall\epsilon>0, \exists\delta) s.t. \), \(0 < \mid x-x' \mid<\delta\) \(\rightarrow\) \(\mid f(x)-f(x')\mid<\frac{\epsilon}{b-a}\)

 

여기에서 x에 \(x'_i\)를 x'에 \(x''_i\)를 넣으면 위에서 \(\mid x'_i-x''_i \mid  < \delta\)가 성립하기 때문에 다음을 만족함을 알 수 있습니다.

 

\((\forall\epsilon>0, \exists\delta) s.t. \), \(0 < \mid x'_i-x''_i \mid<\delta\) \(\rightarrow\) \(\mid f(x'_i)-f(x''_i)\mid = M_i-m_i<\frac{\epsilon}{b-a}\)

 

여기서 f는 연속함수이기 때문에 [a,b]의 모든 구간에서 위의 조건을 만족함을 알 수 있습니다. 이 조건을 이용해 한번 연속함수에서는 적분이 가능한지 알아보도록 합시다.

 

먼저 저번 시간에 우리는 상합과 하합을 다음과 같이 정의했습니다.

 

\[U(f,P)=\sum_{i=1}^nM_{i}(x_{i}-x_{i-1})\]

\[L(f,P)=\sum_{i=1}^nm_{i}(x_{i}-x_{i-1})\]

 

여기서 \(U(f,P)-L(f,P)\)를 구해보도록 합시다. (여기서, \(\triangle x = x_i-x_{i-1}\))

 

\[U(f,P)-L(f,P) = \sum_{i=1}^nM_i\triangle x_i -\sum_{i=1}^nm_i\triangle x_{i}\]

\[= \sum_{i=1}^n(M_i-m_i)\triangle x_i\]

 

그럼 위의 조건에 의해 다음을 만족합니다.

 

\[\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)\triangle x_i\ < \sum_{i=1}^n(\frac{\epsilon}{b-a})\triangle x_i = \frac{\epsilon}{b-a}(b-a) = \epsilon\]

(엡실론은 상수이므로 상수들을 모두 앞으로 보내면 위와 같은 결과가 나옵니다.)

 

즉, \(U(f,P)-L(f,P) < \epsilon \)을 만족하므로 연속함수에서는 항상 리만 적분이 가능하다는 사실을 알 수 있습니다.

 

이로 인해, 우리는 만약 연속함수가 나온다면, 마음 편하게 적분을 할 수 있게 되었습니다.

 

그럼 다음으로 미적분의 기본 정리에 대해 알아보겠습니다.

 

미적분의 기본정리

 

미적분의 기본정리는 2가지가 있습니다. 간단하게 말하자면 첫 번째는 적분과 미분 사이에 연관성에 대한 정리이고, 다음으로는 적분을 쉽게 하는 방법에 대한 정리입니다.

 

혹시 부정적분과 정적분(고등과정부터 대학과정까지 알아보자)-1에서 '원래 부정적분은 정적분을 통해서 발견되었다.'라고 했던 말 기억하시나요? 오늘 배울 미적분의 기본정리는 이에 대한 내용을 다루는데요. 정적분과 미분이 어떤 관계가 있는지 미적분의 기본정리 첫 번째를 통해 알 수 있습니다.

 

그럼 먼저 첫 번째 정리부터 유도를 해볼 텐데요. 그전에 적분의 평균값 정리라는 것을 알 필요가 있습니다. 사실 여기서는 중요한 내용은 아니지만 그냥 이런 정리가 있구나 정도로만 알고 넘어가도 좋을 것 같습니다.

 

적분의 평균값 정리 폐구간 [a,b]에서 연속인 함수 f에 대해서 다음을 만족하는 c가 [a,b]에 존재한다. \(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)\)

 

 

다시 말해서 (b-a)를 우변으로 넘기면 적분 값과 사각형의 넓이가 같게 만드는 어떤 함숫값이 존재한다는 것입니다. 이는 최대, 최소를 이용하면 아주 쉽게 증명할 수 있습니다.

 

먼저 폐구간 [a,b]에서 함수 f의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 합시다. 그럼 다음과 같이 증명할 수 있습니다.

 

\[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)\]

\[\Rightarrow m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M\]

 

즉, 폐구간 [a,b]에서 함수의 최대, 최소 사이에 값이 존재하므로 이는 구간 내에 있는 어떤 점 c에서의 함숫값과 같음을 알 수 있습니다.

 

그럼 이것을 이용해 첫 번째 미적분의 기본 정리를 증명해보도록 합시다.

 

먼저 적분 구간에 따라 함숫값이 달라지는 \(F(x)=\int_{p}^{x} f(t)dt\)인 함수가 있다고 해봅시다.

 

그리고 적분의 평균값 정리에서 [a,b] 대신에 [x, x+h]인 구간이 있다고 해봅시다.

 

그럼 적분의 평균값 정리에 의해 f(t)는 [x, x+h]에서

 

\(\frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}=f(c)\)인 점 c가 존재합니다.

 

 

잠시 여기서 적분의 계산법 2가지를 소개하도록 하겠습니다.

 

1. 만약 c가 [a,b]에 존재한다면, 다음을 만족한다. \[\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{c}^{b} f(x)dx+\int_{a}^{c} f(x)dx\] 2. 함수 f의 적분은 다음을 만족한다. \[\int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx\]

첫 번째 성질은 위의 그림과 같이 단순히 구간을 나누어 적분한 값을 더해준 것입니다. 사실 이것을 리만 적분을 공부하면 엄밀하게 증명하는 방법도 배우지만 이건 나중에 해석학을 공부할 때 같이 배우도록 합시다.

 

두 번째 성질은 간단히 설명하면 분할 P의 순서가 뒤바뀌므로 dx값이 -dx가 되어 서로 부호가 달라짐을 알 수 있습니다.

 

그러면 이러한 계산법에 의해 \(\frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}\)를 다르게 표현해볼 수 있습니다.

 

\[\frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}=\frac{\int_{p}^{x+h}f(t)dt-\int_{p}^{x}f(t)dt}{h}\]

 

이것은 위에서 정의한 함수 F(x)에 의해 다시 다음과 같이 표현이 가능합니다.

 

\[\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\]

 

어디서 많이 보던 모양이지 않나요. 그렇죠. 여기에 극한만 씌우면 도함수의 정의와 같습니다.

 

식으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=F'(x)\]

 

근데 위에서 \(\frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}=f(c)\)인 점 c가 존재한다고 했죠.

 

그럼 만약 h가 0으로 가면 c가 [x,x+h]에 존재하기 때문에 \(\lim_{h \rightarrow 0}f(c)=f(x)\)가 되게 됩니다. 그로 인해 다음을 만족하게 됩니다.

 

\[F'(x)=f(x)\]

 

즉, 우리는 리만 적분을 통해 '어떤 함수를 미분하면 그것의 역연산은 적분이다.'라는 것까지 도출을 해내게 된 것입니다.

 

뭔가 굉장하지 않나요? 단순히 함수의 면적을 구하는 것인 적분과 함수의 기울기를 구하는 미분이 사실은 '역연산 관계' 였던 것입니다.

 

이를 통해 미적분의 두 번째 기본정리를 간단하게 정리할 수 있습니다.

 

먼저 우리는 미분을 할 때 상수를 미분하면 0이 됨을 알고 있습니다.

 

그로 인해 f(x)의 원시 함수는 위에서 정의한 \(F(x)=\int_{p}^{x} f(t)dt\)뿐만 아니라 다양한 상수가 붙은 함수들이 존재함을 알 수 있습니다. 그중 어떤 함수 G(x)를 다음과 같이 나타냅시다.

 

\(G(x)=F(x)+C\)

 

이때, \(F(p)=\int_{p}^{p} f(t)dt\)는 밑변이 0이므로 적분 값이 0이고 \(G(p)=C\)임을 알 수 있습니다.

 

따라서 \(F(q)=\int_{p}^{q} f(t)dt=G(q)-C=G(q)-G(p) \)임을 알 수 있습니다.

 

즉, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

\[\int_{p}^{q}f(x)dx=\begin{bmatrix}G(x)\end{bmatrix}_p^q=G(q)-G(p)\]

 

여기서 G(q)-G(p)에서 상수끼리는 모두 제거가 되므로 어떤 부정적분이든 구간의 양 끝점을 넣으면 정적분의 넓이가 되는 것을 알 수 있습니다.

 

이렇게 미적분의 두 번째 기본정리를 통해 넓이를 구하면 일일이 리만적분을 이용해 넓이를 직접 구하지 않아도 부정적분에 구간의 양 끝 값을 넣으면 정적분의 넓이를 쉽게 구할 수 있음을 알 수 있습니다.

 

여기까지 해서 이번에 준비한 적분 시리즈가 끝이 났습니다. 길다면 길고 짧다면 짧은 내용이었던 것 같네요. 그럼 오늘 준비한 내용은 여기까지고요. 다음 시간에 다른 내용으로 다시 찾아뵙도록 하겠습니다.