함수

함수의 정의는 '어떤 집합 X에서 어떤 집합 Y로의 대응'으로 정의됩니다.

 

기호로는

 

로 정의합니다.

 

'X를 f의 정의역, Y를 공역이라고 부르며, f(x)를 f에 의한 x의 상이라고 부르며, 그러한 상의 집합을 f(X), f의 치역이라고 부른다. 이때 x를 독립변수, y를 종속 변수라고 한다.'

 

자, 위의 말들이 무슨 말들일까 하나씩 살펴보도록 하겠습니다. 우선 f라는 것을 자판기로 비유를 들겠습니다. 근데 이 자판기는 약간 특이합니다. 보통 자판기라 함은, 돈을 넣고 선택할 수 있게끔 되어있는데, 이 자판기는 버튼도 없이 가격에 따라서 뱉어내는 물건들이 정해져 있습니다.

 

100원을 넣으면 지우개가 나오고

500원을 넣으면 샤프심이 나오고

1000원을 넣으면 샴푸가 나옵니다.

 

이 처럼 함수도 x라는 어떤 값을 f라는 자판기에 넣게되면 y라는 어떤 물건이 나오게 되는 셈이죠. 

그래서 정의역이라는 것은 우리가 넣을 수 있는 동전의 집합이라고 할 수 있습니다.

예를 들면 위의 경우에 자판기가 100원, 500원, 1000원 밖에 먹지 못한다면 100원, 500원, 1000원이 정의역인 것이죠.

그렇게 되면, 지우개, 샤프심, 샴푸가 치역이 되겠습니다.

 

이번에는 함수를 직접 살펴보면서 다시 한 번 정리해 봅시다. 

y=f(x)=x+1이라는 함수를 한번 살펴봅시다. 

우선 이 함수는 x 값에 의해 y라는 값이 정해지게 됩니다. 그래서 x를 독립변수, y를 종속변수라고 말하죠. 여기서 잠시 흐름 밖이지만 한 가지만 설명드리겠습니다. 무엇이냐면 어떤 x값에는 하나의 y값만이 나올 수 있다는 점을 주의합시다. 그렇지 않다면, 그것은 함수라고 부르지 않습니다. 예를 들어 자판기에 100원을 넣어도 1원을 넣어도 지우개가 나올수는 있지만, 100원을 넣었을 때, 지우개도 샴푸도 나오는 자판기는 함수라고 부르지 않는다는 것입니다.

 

그럼 우선 정의역과 치역을 구해봅시다. 여기서 x에 들어가도 되는 것들은 따로 정의하지 않은 한 모든 실수가 들어가도 좋습니다. 그렇게 되면 공역을 모든 실수라고 정해줬을때, 나오는 치역은 당연스럽게 모든 실수가 되게 되는 것이죠.

 

하지만 저희가 정의역을 -1에서 1로 정의해주게 되면, 치역은 0에서 2가 되게 됩니다.

그렇다면 공역만 정의 해줘볼까요? 만약 정의역을 정의하지 않고, 공역을 -1에서 1로 정의를 해주게 되면, 치역은 -1에서 1이게 됩니다.

 

원래는 항상 함수를 정의할때, 정의역과 공역을 함께 정의해줘야합니다. 하지만 미분적분학 파트에서는 정의역과 공역을 따로 정의하지 않는 한 모든 실수로 정의해주도록 합시다.

 

특히 정의역은 동시에 일반적으로 함숫값이 정의될 수 있는 모든 수들의 집합으로 정의해줍시다.

 

예를 하나 들어보겠습니다.

 

이 함수는 x의 자리에 0이란 숫자를 대입할 수 없습니다. 일반적으로 1/0이라는 값은 정의가 되지 않기 때문이죠. (물론 나중에는 배우게 되겠지만요 ㅎ) 그렇기 때문에 이러한 함수는 기본적으로 0을 제외한 모든 실수라고 생각하시고 배우게 되면 되겠습니다.

 

잠시 독립변수와 종속변수에 대해 조금 헷갈려 하실수도 있는 분들이 계실 것같아 조금 더 설명드리자면, 

y=x+1에서 x와 y의 자리만 바꾸면 종속변수와 독립변수가 달라지는 것이냐 라고 하신다면, 그런것이 아니라 y=f(x)라고 해줬을 때, 바로 y는 종속변수가 되게 되는 것입니다. 독립변수가 x라고 정해지면서 종속변수 y가 정해지게 되는 것이죠. 따라서 x와 y의 자리를 바꾼다고 해도 y가 종속변수임이 달라짐이 없게 됩니다.

 

예를 한가지 들어보겠습니다.

 

여기서는 독립변수가 무엇일까요?

 

정답은 모른다 입니다. x의 값을 정해주면, y의 값이 정해지게 되고, y의 값을 정해주게 되면, x의 값이 정해지는 것이죠. 이와 같이 y=f(x)와 같이 종속변수와 독립변수가 정해진 함수를 양함수, F(x,y)=0과 같이 종속변수와 독립변수를 모르는 함수들을 음함수라고 부릅니다.

 

또한 우함수와 기함수에 대해 짧게 설명드리려고 합니다. 우선 나중에 다시 한 번 다루게 될 내용이니, 보고 이런 것도 있구나 하시고 넘어가도 좋을 것 같습니다. 

 

우선 어떤 함수 y=f(x)가 정의역에 속하는 모든 x에 대하여 f(-x)=f(x)를 만족하면, 우함수라 부르고, f(-x)=-f(x)를 만족하면, 기함수라고 부릅니다.

 

예를 들어 

 

라는 함수가 있을때, x자리에 -x를 넣어본다면, f(-x)=-f(x)꼴을 만족하게 됩니다. 따라서 f(x)=x라는 함수는 기함수라는 것을 알게 되죠.

 

어떤 함수 y=f(x)가 정의역에 속하는 모든 x에 대하여 라는 부분이 이해가 안가실 분들을 위해 약간만 설명하자면, 

 

만약 함수를 정의역이 (-1,1)인 함수로 정의를 한다해도, x=-1에서 x=1일때까지 모두 모든 정의역에 대해서 f(-x)라는 값이 -f(x)를 만족하므로 똑같이 기함수입니다. 하지만, (-1,0)으로 정의한다면, -f(-1)에 대해 만족하는 함숫값이 없기 때문에 기함수도 우함수도 아니게 됩니다. 즉, f(x)가 정의역에 속하는 모든 x에 대해 그런꼴을 만족하는 함수들을 찾아 나중에는 우함수와 기함수의 성질들을 이용해볼 수 있을 것 같습니다. 

 

우함수에 대한 예는 이차함수가 있으니, 한 번 위와 같이 유도해보셔서 참인지 거짓인지 확인해보시면 좋을 것 같습니다.

 

오늘 준비한 내용은 여기까지입니다. 다시 한번 보시면서 관련 예제들을 인터넷에서 찾아보시면서 조금만 익숙해지시면 될 것 같습니다.

 

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